O ranking do pôquer por dentro: a probabilidade exata de cada mão

O baralho, a mão e o total de combinações

Um baralho padrão de pôquer tem 52 cartas: 13 valores (2 a 10, J, Q, K, A) em cada um dos 4 naipes. Uma mão de pôquer de 5 cartas, na definição usada pela World Series of Poker e por praticamente toda variante sem curinga, é uma seleção de 5 cartas distintas do baralho em que a ordem não importa: receber A♠ K♠ Q♠ J♠ 10♠ em qualquer sequência é a mesma mão. É essa característica, ordem irrelevante e sem repetição, que faz da contagem uma combinação, não uma permutação, e é o motivo de todo o resto deste guia usar a notação C(n, k), "n escolhe k".

A fórmula de combinação parte de todas as maneiras de distribuir 5 cartas em ordem (52 × 51 × 50 × 49 × 48, ou 52!/47!) e depois divide pelas 5! = 120 ordens diferentes em que as mesmas 5 cartas poderiam ter saído, já que elas contam como a mesma mão. O resultado é o denominador que aparece em toda probabilidade deste guia, o mesmo C(n, k) que aparece, por exemplo, ao contar quantos fechamentos de loteria cobrem um conjunto de dezenas.

Por que o ranking segue exatamente a raridade

A tabela abaixo reúne a contagem exata de cada categoria (derivada campo a campo na próxima seção) e a probabilidade resultante. Os números foram calculados de forma independente e conferem, casa decimal por casa decimal, com as notas de probabilidade combinatória do curso MATH 323 da McGill University, um bom sinal de que não há erro de dedo nem número transposto.

Repare no padrão: lendo a tabela de baixo para cima, cada categoria tem estritamente menos combinações que a anterior, e é exatamente essa ordem que o ranking do pôquer usa. Full house (3.744) vence flush (5.108) porque tem menos combinações, não porque "pareça" mais forte; flush vence sequência (10.200) pelo mesmo motivo. Isso não é coincidência de um baralho qualquer: um preprint de matemática de 2025 (Williamson, arXiv 2511.06145) estudou baralhos com outros números de valores e mostrou que o baralho padrão, com 13 valores, é o menor baralho em que a frequência bruta de cada categoria concorda com a ordem tradicional do ranking para todas as mãos, exceto dentro de subcasos de carta alta. Ou seja, a escolha histórica de 13 valores por naipe não é só cultural, ela cai exatamente no ponto em que a matemática e a convenção do jogo se alinham sem contradição.

Derivando cada contagem, o princípio multiplicativo

Toda contagem deste guia usa a mesma ideia: quebrar a escolha da mão em etapas independentes (escolher valores, depois escolher naipes) e multiplicar o número de opções de cada etapa. É o princípio multiplicativo, a mesma lógica de "se há 3 sabores de sorvete e 2 tipos de casquinha, há 3 × 2 = 6 combinações". A quadra é o caso mais simples para começar: escolha o valor que vai repetir 4 vezes (13 opções), as 4 cartas daquele valor são obrigatórias (só existe uma forma de pegar as 4, C(4,4) = 1), e a quinta carta pode ser qualquer uma das 48 restantes.

O full house tem uma etapa a mais porque tem duas partes com naipe variável: a trinca e o par. Primeiro escolha o valor da trinca (13 opções) e quais 3 dos 4 naipes daquele valor entram na mão, C(4,3) = 4 formas. Depois escolha o valor do par entre os 12 valores restantes, e quais 2 dos 4 naipes entram, C(4,2) = 6 formas.

O par mais raro de todos, o straight flush, usa outra lógica: em vez de repetir um valor, é uma sequência de 5 valores seguidos, todos do mesmo naipe. Há 10 pontos de partida possíveis para uma sequência de 5 valores num baralho de 13: A-2-3-4-5 (o "ace-low"), 2-3-4-5-6, 3-4-5-6-7, e assim por diante até 10-J-Q-K-A, que é justamente o royal flush. Ou seja, dos 10 pontos de partida, 1 é o royal flush e os outros 9 são straight flush "comuns"; multiplique cada grupo pelos 4 naipes.

As demais categorias seguem a mesma receita, só trocando quantas cartas variam de naipe e quantos valores "sobram" livres. A tabela reúne a fórmula de cada uma; todas foram conferidas somando os 10 resultados e batendo com o total de 2.598.960.

Dois exemplos resolvidos: flush e dois pares

Os dois exemplos abaixo mostram a derivação completa, do zero até a probabilidade final, para as duas mãos mais úteis de entender bem: o flush, porque ilustra a armadilha de contar o straight flush duas vezes, e os dois pares, porque tem uma etapa a mais que qualquer outra categoria.

1. Escolha o naipe4 naipes possíveis para o flush inteiro: C(4,1) = 4.
2. Escolha 5 valores dentro daquele naipeHá 13 cartas naquele naipe; escolher 5 delas é C(13,5) = 1.287.
3. Multiplique4 × 1.287 = 5.148. Esse número inclui, sem querer, todo straight flush, que também é 5 cartas do mesmo naipe.
4. Subtraia os straight flushesHá 40 straight flushes ao todo (36 comuns + 4 royal). 5.148 − 40 = 5.108 flushes "puros".
5. Calcule a probabilidade5.108 / 2.598.960 ≈ 0,19654%, ou aproximadamente 1 em 509 mãos.

1. Escolha os dois valores que vão parearDe 13 valores, escolha 2 para virarem pares: C(13,2) = 78.
2. Escolha os naipes de cada parPara cada um dos 2 valores, escolha 2 dos 4 naipes: C(4,2) = 6, então 6 × 6 = 36 combinações de naipe para os dois pares juntos.
3. Multiplique o núcleo dos dois pares78 × 36 = 2.808 formas de montar os dois pares.
4. Escolha a quinta cartaEla precisa ter um valor diferente dos dois já pareados, sobram 11 valores, cada um com 4 naipes: 11 × 4 = 44 opções.
5. Multiplique e calcule a probabilidade2.808 × 44 = 123.552. Dividido pelo total: 123.552 / 2.598.960 ≈ 4,7539%, ou aproximadamente 1 em 21 mãos.

Curingas, variantes e erros comuns de ranking

Tudo neste guia vale para o jogo sem curinga, com um baralho de 52 cartas. Assim que se adiciona um curinga (ou se "cartas selvagens" como os dois entram na regra), a correspondência limpa entre raridade e ranking deixa de valer: um curinga pode completar qualquer mão, o que infla desproporcionalmente a contagem das categorias mais altas (uma quina, cinco cartas do mesmo valor, só existe com curinga) e derruba a ordem de raridade original. É por isso que mesas com curinga costumam ter uma regra explícita à parte para encaixar a quina no topo do ranking, em vez de deixar a contagem "decidir" sozinha. Não confunda esse cálculo de combinação fixa com o blackjack, onde não existe "ranking de mãos", a mão vencedora é decidida pela soma dos valores das cartas contra a casa, um problema de decisão sequencial, não de contagem de combinações.