Probabilidade nas loterias: de onde vem 1 em 50 milhões

De onde vem 1 em 50.063.860

A Mega-Sena sorteia 6 dezenas de um universo de 60. Você acerta a sena se as suas 6 dezenas forem exatamente as 6 sorteadas, e aqui está o ponto que decide toda a conta: a ordem não importa. 04-17-23-38-52-60 é o mesmo bilhete premiado independentemente da sequência em que as bolas caem. Quando a ordem não conta, o objeto matemático certo é a combinação, não o arranjo.

Substituindo n = 60 e k = 6: C(60,6) = 60! / (6! · 54!). Os fatoriais gigantes se cancelam, sobra (60×59×58×57×56×55) dividido por 720, que é 36.045.979.200 / 720 = 50.063.860. Esse é o número de bilhetes distintos possíveis. Como só um deles é o sorteado, a probabilidade de uma aposta simples acertar a sena é 1 em 50.063.860, aproximadamente 0,000002%.

Combinação

Seleção em que a ordem não importa. Loteria é combinação: {4, 17, 23} = {23, 4, 17}.

Arranjo (permutação)

Seleção em que a ordem importa, como uma senha de dígitos. Dá números muito maiores; não é o caso aqui.

As faixas menores saem da mesma fórmula, contando "acertos parciais". Para a quina (5 acertos entre as 6 suas dezenas): você precisa que 5 das 6 sorteadas estejam no seu jogo e 1 das 54 restantes complete o sorteio, C(6,5)×C(54,1) = 6×54 = 324 combinações favoráveis, ou 1 em 154.518. Para a quadra (4 acertos): C(6,4)×C(54,2) = 15×1.431 = 21.465, ou 1 em 2.332. É o mesmo raciocínio que a Probabilidade da Loteria aplica automaticamente para qualquer modalidade e quantidade de dezenas.

Por que jogar mais números custa caro

Marcar mais dezenas no volante não é "pagar um pouco a mais": é comprar, de uma vez, todos os jogos simples de 6 que cabem dentro das suas dezenas. Se você marca n números, o bilhete equivale a C(n,6) apostas simples. Desde 10 de julho de 2025 a aposta simples da Mega-Sena custa R$ 6,00 (reajuste de 20% sobre os R$ 5,00 anteriores, veja como calcular esse tipo de variação no guia de porcentagem). O preço total é simplesmente C(n,6) × R$ 6,00, e ele explode porque a combinatória é fatorial, não linear.

Repare no que a tabela realmente diz. Pular de 6 para 20 dezenas multiplica o custo por 38.760 e multiplica a chance por 38.760, o mesmíssimo fator. A probabilidade por real gasto é constante: cada real compra sempre a mesma fatia 1/(50.063.860×6) de chance, seja em uma aposta enorme ou em dezenas de jogos simples. Não existe desconto de sorte por volume. O único "recorde" que o volante de 20 dezenas bate é o preço: R$ 232.560. E cobrir todas as 50.063.860 combinações, a única forma de garantir a sena, custaria cerca de R$ 300 milhões, quase sempre mais do que o prêmio.

Mega, Quina e Lotofácil: ordens de grandeza

Cada loteria tem seu próprio espaço amostral, o número de bilhetes distintos possíveis com a aposta mínima, que é exatamente o denominador do "1 em X" do prêmio principal. Comparar esses tamanhos é a forma mais honesta de medir "qual é a mais difícil". A Mega-Sena tem o maior espaço; a Lotofácil, o menor, porque marcar 15 de 25 deixa relativamente poucas combinações de fora.

A Lotofácil ilustra bem por que "prêmio mais fácil" não é "aposta melhor". Acertar os 15 é 1 em 3.268.760, quinze vezes mais provável que a sena, mas o prêmio máximo também é muito menor, e a maior parte da premiação se dilui em faixas de 11 a 14 acertos que caem com frequência e pagam pouco. A Quina fica no meio (C(80,5) = 24.040.016). Em todas elas a relação vale: prêmios mais acessíveis vêm com valores menores; a arrecadação que retorna é a mesma fração fixada em lei, seja qual for o jogo.

O que um fechamento realmente garante

Fechamento (ou desdobramento) é um sistema que pega um conjunto de dezenas escolhidas por você, digamos 10, e gera um número reduzido de jogos, menos do que as C(10,6) = 210 combinações completas, escolhidos de modo a oferecer uma garantia matemática. A palavra-chave é "garantia condicional". Um fechamento típico promete algo como: "com estas 10 dezenas em 20 jogos, se 5 das minhas 10 estiverem entre as 6 sorteadas, eu garanto pelo menos uma quadra". É um teorema de cobertura, não um feitiço de sorte.

1. Leia a garantia inteiraToda garantia de fechamento tem a forma "SE k das minhas N dezenas saírem, ENTÃO garanto a faixa X". Sem o "SE", não há promessa.
2. Confira o custoUm fechamento gera vários jogos; multiplique pela aposta simples. A calculadora de preço da aposta fecha a conta antes de você imprimir.
3. Teste contra sorteios reaisRode as suas dezenas no simulador de loterias para ver, em muitos sorteios, o que a garantia entrega, e o que ela não entrega.

Onde o fechamento é honestamente útil: quando você já decidiu apostar em muitas dezenas e quer garantir um prêmio menor caso boa parte delas saia, gastando menos do que a cobertura total. Onde ele engana: quando vendido como forma de "aumentar a chance de ganhar na loteria". A chance de acertar a sena continua amarrada ao número de dezenas que você cobre, nada no arranjo dos jogos muda isso. Monte e inspecione os seus no Fechamento de Loteria e leia a garantia com a mesma frieza com que leria um contrato.

A falácia do jogador e as dezenas "atrasadas"

Cada sorteio da Mega-Sena é um evento independente: as bolas não têm memória. A probabilidade de o número 13 sair no próximo concurso é a mesma quer ele tenha saído ontem, quer esteja "atrasado" há 200 concursos. Estatisticamente, independência significa exatamente isto: o resultado passado não altera em nada a distribuição do próximo. Planilhas de dezenas "quentes", "frias" e "atrasadas" descrevem o passado com precisão e preveem o futuro com precisão zero.

A falácia do jogador é acreditar que eventos independentes "se corrigem". A moeda que caiu cara cinco vezes seguidas ainda tem 50% de dar cara na sexta, ela não "deve" uma coroa a ninguém.

Duas armadilhas cognitivas alimentam a ilusão. A primeira é confundir padrões vistos no retrovisor com poder de previsão, o mesmo erro que o guia de correlação não é causalidade desmonta em dados de todo tipo. A segunda é a intuição ruim para eventos raríssimos: nossa cabeça não distingue 1 em 50 milhões de 1 em 5 milhões, então "quase acertei" parece progresso quando não é nenhum. Vale notar o contraste com jogos que embutem um teto de sorte, os sistemas de "pity", a matemática do pity em gacha mostra um desenho em que a chance de fato sobe a cada tentativa. A loteria não tem pity: nenhuma aposta te aproxima da próxima.

• Números "atrasados" não são mais prováveis, sorteios são independentes.
• Sequências como 1-2-3-4-5-6 têm exatamente a mesma chance de qualquer outra combinação.
• Evitar dezenas "populares" (datas, padrões) não muda sua chance de ganhar, só reduz a de dividir o prêmio.
• Nenhum sistema, dezena da sorte ou histórico "garante" a sena; a probabilidade é fixa e conhecida.

Valor esperado: por que a casa sempre ganha

Valor esperado (EV) é o retorno médio de uma aposta se ela fosse repetida infinitas vezes. Some, sobre todas as faixas, a probabilidade de cada prêmio vezes o valor dele, e subtraia o custo. Se o resultado é negativo, você perde dinheiro no longo prazo, e na loteria ele é estruturalmente negativo, não por azar, mas por desenho legal.

Não é preciso conhecer cada prêmio para saber o sinal do EV. A Lei 13.756/2018, no art. 16, fixa quanto da arrecadação vira premiação: para a loteria de prognósticos numéricos (Mega-Sena, Quina, Lotofácil), cerca de 43,79% do total apostado é destinado ao pagamento de prêmios, e essa fatia já inclui o imposto de renda retido sobre a premiação. O resto vai para tributos, fundos sociais, seguridade, esporte e custos de operação. Isso significa que, somando todas as apostas, no máximo cerca de R$ 0,44 de cada R$ 1,00 volta como prêmio. O retorno médio ao apostador é, por construção, menor que a metade do que entrou.