Correlação não é causalidade: o que o r e o R² realmente dizem

O que o r de Pearson realmente mede

O coeficiente de correlação de Pearson mede uma coisa muito específica: quão bem os pontos (x, y) se alinham sobre uma reta. Ele vale +1 quando todos caem exatamente numa reta ascendente, −1 quando caem numa reta descendente, e 0 quando não há inclinação linear alguma. O sinal dá o sentido; o módulo, o aperto da nuvem em torno da reta. Duas propriedades o tornam elegante: ele é adimensional e não muda se você reescalar ou deslocar os eixos, medir altura em centímetros ou em polegadas devolve exatamente o mesmo r.

Repare no que a fórmula faz: ela pega a covariância, o quanto x e y variam juntos, e a padroniza dividindo pelos desvios-padrão de cada variável. Por isso o r é a "covariância sem unidade", presa entre −1 e 1. E aqui está a palavra que quase todo mundo esquece: linear. O r mede associação linear. Ele não sabe o que é uma parábola.

Um contraexemplo fecha a questão. Tome cinco pontos simétricos em torno de zero: x = −2, −1, 0, 1, 2, e y = x², ou seja y = 4, 1, 0, 1, 4. A relação é perfeita e determinística, dado x, você sabe y exatamente. Mesmo assim, r = 0. A média de x é zero, e a soma dos produtos xᵢ·yᵢ é (−2·4) + (−1·1) + (0·0) + (1·1) + (2·4) = −8 − 1 + 0 + 1 + 8 = 0, então a covariância é zero e o r também. A conclusão vale ouro: r = 0 não significa independência, significa apenas ausência de tendência linear. Uma variável pode determinar a outra por completo e ainda ter correlação zero.

Covariância, resíduo e o vocabulário exato

Cinco palavras costumam ser usadas de forma intercambiável, e não são a mesma coisa. A regressão linear traça a reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos; o r padroniza a covariância; o R² eleva o r ao quadrado (na regressão simples). Fixe cada termo abaixo com a definição precisa antes de seguir.

Covariância

Mede como x e y variam em conjunto: positiva quando sobem juntas, negativa quando uma sobe e a outra desce. Sua magnitude depende das unidades, o que a torna difícil de interpretar sozinha, por isso é padronizada em r.

r (correlação de Pearson)

A covariância dividida pelos dois desvios-padrão: um número entre −1 e 1 que mede só a força e o sentido da associação linear entre x e y.

R² (coeficiente de determinação)

A fração da variância de y que o modelo explica, entre 0 e 1. Na regressão linear simples, R² = r². O sinal se perde: R² não diz se a relação é positiva ou negativa.

Resíduo

A diferença entre o valor observado de y e o previsto pela reta (yᵢ − ŷᵢ). A regressão de mínimos quadrados escolhe justamente a reta que minimiza a soma desses resíduos ao quadrado.

Variável confundidora

Uma terceira variável que influencia x e y ao mesmo tempo, criando correlação entre eles sem que um cause o outro (por exemplo, a temperatura ligando sorvete e afogamentos).

Os desvios-padrão no denominador do r são exatamente o que a calculadora de desvio padrão devolve para uma lista de números, média, variância e desvio, populacional ou amostral. Cole os seus dados e veja a dispersão que alimenta a fórmula; a mesma média que aparece ali é a que você obtém na calculadora de média, mediana e moda.

R² não é "qualidade" nem prova de causa

O R², ou coeficiente de determinação, tem uma definição precisa: é a fração da variância de y que o modelo explica. Se a variância total de y é a "bagunça" que você quer entender, o R² diz que pedaço dessa bagunça a reta dá conta. Um R² de 0,667 significa que o modelo explica cerca de dois terços da variação de y; o terço restante fica nos resíduos. Na regressão linear simples, uma única variável explicativa, vale a igualdade R² = r². No Quarteto de Anscombe, r = 0,816, logo R² = 0,816² ≈ 0,667.

Rode a mesma nuvem de pontos na calculadora de regressão linear e compare o R² que ela reporta com o r da calculadora de correlação: na regressão simples, um é exatamente o quadrado do outro. Quando alguém troca um número forte por uma conclusão forte, é aqui que o erro começa, o mesmo risco de qualquer índice-resumo, como o IMC, que comprime o corpo num só número e esconde a composição real.

O clímax: o Quarteto de Anscombe

Em 1973, o estatístico Francis Anscombe publicou quatro conjuntos de onze pontos cada com um objetivo provocador: mostrar que as estatísticas resumidas podem coincidir enquanto os dados não têm nada em comum. Os quatro conjuntos têm a mesma média de x (9), a mesma média de y (7,50), a mesma variância, o mesmo r (0,816), o mesmo R² (0,667) e exatamente a mesma reta de regressão, y = 3,00 + 0,500x. Um relatório que só mostrasse esses números declararia os quatro idênticos.

O gráfico desmonta a ilusão. O conjunto I é o que você imagina ao ouvir "r = 0,82": uma nuvem ruidosa em torno de uma reta. O conjunto II não tem ruído nenhum, é uma parábola limpa, que sobe e depois desce, e a reta de regressão a atravessa por cima sem descrever nada. Os conjuntos III e IV são ainda mais traiçoeiros: o III é uma reta quase perfeita com um único outlier que entorta a inclinação, e o IV é uma coluna vertical de pontos em x = 8 mais um único ponto distante em x = 19, esse ponto sozinho cria toda a "correlação". Quatro histórias opostas, um único conjunto de números.

O Quarteto ganhou uma versão moderna e bem-humorada: o "Datasaurus Dozen" de Matejka e Fitzmaurice (2017), treze conjuntos com médias, desvios e correlação praticamente iguais até a segunda casa decimal, um deles em forma de dinossauro. A lição é a mesma de 1973, agora animada: nenhuma estatística resumida substitui olhar para o gráfico.

Pearson, Spearman e heterocedasticidade

Se o r de Pearson é cego a curvas e sensível a outliers, o que fazer quando a relação claramente existe mas não é uma reta? Se ela for monotônica, y sempre cresce (ou sempre decresce) quando x cresce, mesmo que a taxa mude, a correlação de Spearman é a ferramenta certa. Ela é simplesmente o r de Pearson calculado sobre os postos (ranks) dos dados, e não sobre os valores brutos, o que a torna robusta a outliers e capaz de captar qualquer tendência monotônica, linear ou não.

De correlação a causa: o que falta

A correlação vira armadilha quando uma terceira variável, escondida, move as duas ao mesmo tempo. O exemplo clássico de sala de aula: as vendas de sorvete sobem junto com o número de afogamentos. Ninguém acredita que sorvete afogue alguém, o que sobe nos dois casos é o termômetro. O calor leva as pessoas a comprar sorvete e, ao mesmo tempo, a nadar mais, então os afogamentos aumentam. A temperatura é a variável confundidora; a correlação sorvete–afogamento é espúria. É um exemplo didático, não um dado medido, mas ilustra o mecanismo com precisão. O projeto Spurious Correlations, de Tyler Vigen, leva a ideia ao limite, pareando automaticamente milhares de séries que sobem juntas por puro acaso.

Então o que eleva uma correlação a evidência de causa? Duas linhas de ataque. A primeira é a aleatorização: num experimento controlado, você sorteia quem recebe o tratamento, o que quebra por construção qualquer variável confundidora, é por isso que o ensaio clínico randomizado é considerado padrão-ouro. A segunda, quando o experimento é impossível ou antiético (não se sorteia quem vai fumar), são os nove pontos de vista que Austin Bradford Hill propôs em 1965 para julgar se uma associação é causal. Ele mesmo os chamou de "pontos de vista", não de checklist: nenhum é obrigatório, e o peso convergente de vários é o que constrói o argumento.

• Força, quanto mais forte a associação, menos provável que seja só confundimento.
• Consistência, o efeito se repete em populações, lugares e estudos diferentes.
• Especificidade, a causa liga-se a um efeito bem definido.
• Temporalidade, a causa precede o efeito (o único critério indispensável).
• Gradiente biológico, mais exposição, mais efeito (dose-resposta).
• Plausibilidade, existe um mecanismo que torna a causa crível.
• Coerência, a hipótese não contradiz o que já se sabe.
• Evidência experimental, intervir muda o desfecho.
• Analogia, causas semelhantes produzem efeitos semelhantes.