Calculadora de Matrizes

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multiplicação de matrizes

Multiplicação de Matrizes

Multiplicar A×B só é possível quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; o resultado herda as linhas de A e as colunas de B. Cada elemento da matriz resultante é a soma de produtos entre uma linha de A e uma coluna de B, o mesmo padrão repetido linha por coluna até preencher toda a matriz de saída.

Compatibilidade, ordem que muda tudo, e o custo O(n³)

A regra de compatibilidade é fixa: colunas de A precisam igualar linhas de B. Uma matriz C de 2×3 multiplicada por D de 3×2 dá C×D, de dimensão 2×2, com resultado [[58,64],[139,154]]. Só que trocar a ordem, D×C, não é só reprovado por incompatibilidade às vezes: aqui as dimensões batem nos dois sentidos, e D×C sai 3×3, [[39,54,69],[49,68,87],[59,82,105]], uma matriz de tamanho totalmente diferente da primeira, não só de valores diferentes.
Mesmo quando as duas ordens produzem matrizes do mesmo tamanho, os valores raramente coincidem. Com A=[[1,2],[3,4]] e B=[[5,6],[7,8]], A×B = [[19,22],[43,50]], mas B×A = [[23,34],[31,46]]: nenhuma das quatro posições bate entre as duas matrizes resultantes. A multiplicação de matrizes não é comutativa porque cada elemento cᵢⱼ combina uma linha específica da primeira com uma coluna específica da segunda, e trocar a ordem muda qual linha encontra qual coluna.
Calcular cada elemento cᵢⱼ = Σ aᵢₖ·bₖⱼ soma n produtos, um por posição k; uma matriz n×n resultante tem n² elementos, então o algoritmo ingênuo, o mesmo implementado nesta ferramenta com três laços aninhados, custa n×n²=n³ multiplicações no total. Para n=100, isso já são 1 milhão de multiplicações; algoritmos mais sofisticados, como o de Strassen (1969), reduzem o expoente para cerca de 2,807, mas às custas de uma implementação bem mais complexa que a calculadora não usa.

Exemplos

Compatibilidade e forma

Entrada: (2×3) × (3×2)
Saída esperada: 2×2: [[58,64],[139,154]]

Colunas de C (3) igualam linhas de D (3); o resultado herda as 2 linhas de C e as 2 colunas de D.

Ordem trocada muda até o tamanho

Entrada: (3×2) × (2×3)
Saída esperada: 3×3: [[39,54,69],[49,68,87],[59,82,105]]

A mesma dupla de matrizes, na ordem inversa, produz uma matriz 3×3 em vez de 2×2: forma e valores mudam juntos.

Não comutativa em 2×2

Entrada: A×B vs B×A
Saída esperada: [[19,22],[43,50]] vs [[23,34],[31,46]]

Mesmas duas matrizes, mesma dimensão 2×2 nos dois sentidos, mas nenhum elemento coincide entre A×B e B×A.

FAQ da ferramenta completa

Quando posso multiplicar duas matrizes?

Quando o número de colunas da primeira (A) for igual ao número de linhas da segunda (B). O resultado terá as linhas de A e as colunas de B. A multiplicação de matrizes não é comutativa: A×B ≠ B×A em geral.

Como o determinante é calculado?

Toda matriz tem inversa?

O que é a forma escalonada reduzida (RREF)?

O que é o posto (rank) de uma matriz?

Qual o tamanho máximo de matriz suportado?

O que é a transposta de uma matriz?

Dá para resolver sistemas de equações lineares?

Perguntas frequentes

Posso multiplicar matrizes de qualquer tamanho?

Não: o número de colunas da primeira matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda. Uma matriz 2×3 só multiplica por outra que comece com 3 linhas, como uma 3×2 ou uma 3×5; tentar 2×3 vezes 2×2, por exemplo, falha porque 3 (colunas de A) é diferente de 2 (linhas de B).

A multiplicação de matrizes é comutativa?

Não. Com A=[[1,2],[3,4]] e B=[[5,6],[7,8]], A×B=[[19,22],[43,50]] e B×A=[[23,34],[31,46]], duas matrizes completamente diferentes calculadas a partir dos mesmos dois fatores, só trocando a ordem.

Qual o custo computacional de multiplicar duas matrizes n×n?

O(n³) pelo algoritmo ingênuo usado nesta ferramenta: cada um dos n² elementos do resultado soma n produtos, então o total de multiplicações cresce com o cubo de n. Algoritmos como o de Strassen reduzem esse expoente para cerca de 2,807, à custa de uma implementação mais complexa.

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Multiplicação de Matrizes

Compatibilidade, ordem que muda tudo, e o custo O(n³)

A regra de compatibilidade é fixa: colunas de A precisam igualar linhas de B. Uma matriz C de 2×3 multiplicada por D de 3×2 dá C×D, de dimensão 2×2, com resultado [[58,64],[139,154]]. Só que trocar a ordem, D×C, não é só reprovado por incompatibilidade às vezes: aqui as dimensões batem nos dois sentidos, e D×C sai 3×3, [[39,54,69],[49,68,87],[59,82,105]], uma matriz de tamanho totalmente diferente da primeira, não só de valores diferentes.

Mesmo quando as duas ordens produzem matrizes do mesmo tamanho, os valores raramente coincidem. Com A=[[1,2],[3,4]] e B=[[5,6],[7,8]], A×B = [[19,22],[43,50]], mas B×A = [[23,34],[31,46]]: nenhuma das quatro posições bate entre as duas matrizes resultantes. A multiplicação de matrizes não é comutativa porque cada elemento cᵢⱼ combina uma linha específica da primeira com uma coluna específica da segunda, e trocar a ordem muda qual linha encontra qual coluna.

Calcular cada elemento cᵢⱼ = Σ aᵢₖ·bₖⱼ soma n produtos, um por posição k; uma matriz n×n resultante tem n² elementos, então o algoritmo ingênuo, o mesmo implementado nesta ferramenta com três laços aninhados, custa n×n²=n³ multiplicações no total. Para n=100, isso já são 1 milhão de multiplicações; algoritmos mais sofisticados, como o de Strassen (1969), reduzem o expoente para cerca de 2,807, mas às custas de uma implementação bem mais complexa que a calculadora não usa.

Exemplos

Compatibilidade e forma

Entrada: (2×3) × (3×2)
Saída esperada: 2×2: [[58,64],[139,154]]

Colunas de C (3) igualam linhas de D (3); o resultado herda as 2 linhas de C e as 2 colunas de D.

Ordem trocada muda até o tamanho

Entrada: (3×2) × (2×3)
Saída esperada: 3×3: [[39,54,69],[49,68,87],[59,82,105]]

A mesma dupla de matrizes, na ordem inversa, produz uma matriz 3×3 em vez de 2×2: forma e valores mudam juntos.

Não comutativa em 2×2

Entrada: A×B vs B×A
Saída esperada: [[19,22],[43,50]] vs [[23,34],[31,46]]

Mesmas duas matrizes, mesma dimensão 2×2 nos dois sentidos, mas nenhum elemento coincide entre A×B e B×A.

FAQ da ferramenta completa

Quando posso multiplicar duas matrizes?

Como o determinante é calculado?

Toda matriz tem inversa?

O que é a forma escalonada reduzida (RREF)?

O que é o posto (rank) de uma matriz?

Qual o tamanho máximo de matriz suportado?

O que é a transposta de uma matriz?

Dá para resolver sistemas de equações lineares?

Perguntas frequentes

Posso multiplicar matrizes de qualquer tamanho?

A multiplicação de matrizes é comutativa?

Não. Com A=[[1,2],[3,4]] e B=[[5,6],[7,8]], A×B=[[19,22],[43,50]] e B×A=[[23,34],[31,46]], duas matrizes completamente diferentes calculadas a partir dos mesmos dois fatores, só trocando a ordem.