O discriminante Δ = b²−4ac determina a natureza das raízes: Δ>0 → dois reais distintos; Δ=0 → raiz dupla; Δ<0 → sem raízes reais.
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Resolva ax²+bx+c=0 com Bhaskara, discriminante e raízes reais ou complexas.
A equação do 2.° grau na forma ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0) é resolvida pela fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, onde Δ = b² − 4ac é o discriminante. É o discriminante que revela a natureza das raízes antes mesmo de calculá-las: se Δ > 0, existem duas raízes reais distintas; se Δ = 0, há uma única raiz real (dupla), em x = −b ÷ 2a; se Δ < 0, não há solução real, e as raízes são complexas conjugadas da forma −b/(2a) ± (√|Δ| / 2|a|)·i. Esta ferramenta recebe os três coeficientes, calcula Δ, classifica o caso e mostra o passo a passo completo, da montagem da equação até os valores finais x₁ e x₂. Os coeficientes b e c podem ser zero (permitindo equações incompletas como x² − 5 = 0), mas a não pode, pois anularia o termo quadrático. O cálculo usa ponto flutuante de 64 bits, com precisão total para coeficientes de módulo abaixo de 10¹⁵, e exibe até 10 algarismos significativos. Tudo roda localmente no navegador.
A fórmula x = (−b ± √Δ) ÷ 2a resolve qualquer equação quadrática real e nasce de completar o quadrado em ax² + bx + c = 0. Todo o comportamento das raízes fica concentrado no discriminante Δ = b² − 4ac, o número que fica dentro da raiz: como não se pode tirar raiz quadrada real de um número negativo, o sinal de Δ decide tudo.
São três cenários. Δ > 0: a raiz é um número real positivo e o sinal ± gera duas raízes reais distintas. Δ = 0: a raiz vale zero, o ± some e sobra uma única raiz dupla em −b ÷ 2a. Δ < 0: a raiz seria de um negativo, então não há solução real e a ferramenta expressa as duas raízes complexas conjugadas.
Exemplo 1, duas raízes reais: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6). O discriminante é Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, positivo. Como √1 = 1, x = (5 ± 1) ÷ 2, dando x₁ = 3 e x₂ = 2. Confere: 3 + 2 = 5 (= −b/a) e 3 × 2 = 6 (= c/a).
Exemplo 2, raízes complexas: x² + 2x + 5 = 0 (a = 1, b = 2, c = 5). O discriminante é Δ = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16, negativo. A parte real é −b ÷ 2a = −1, e a parte imaginária é √16 ÷ 2 = 2, então as raízes são −1 + 2i e −1 − 2i.
Há duas maneiras rápidas de conferir uma resposta. A primeira é substituir a raiz na equação original: ax² + bx + c deve dar zero (ou muito perto, por arredondamento de ponto flutuante). A segunda são as relações de Girard/Vieta: a soma das raízes é −b ÷ a e o produto é c ÷ a, no Exemplo 1, soma 5 e produto 6, exatamente como esperado. Cuidado com o sinal ao digitar b e c negativos e lembre que a não pode ser zero.
Equações do 2.° grau aparecem em física (movimento com aceleração constante, altura de um projétil), em problemas de área e geometria, em otimização (o vértice da parábola dá o máximo ou mínimo) e em finanças e engenharia. Saber classificar por Δ diz de imediato se um problema tem solução real.
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title="Calculadora de Equação do 2.° Grau"
></iframe>Estas referências ajudam a contextualizar fórmulas, padrões, APIs e limitações usadas nesta página. Elas não substituem validação profissional quando o resultado tiver impacto jurídico, financeiro, médico ou operacional.
O discriminante Δ = b²−4ac determina a natureza das raízes: Δ>0 → dois reais distintos; Δ=0 → raiz dupla; Δ<0 → sem raízes reais.
ax² + bx + c = 0Os cálculos ficam apenas no navegador. Nenhum dado é enviado ao servidor.