Calculadora de Triângulo

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Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo, não só o retângulo. Ela resolve o caso LAL direto e devolve os três ângulos de um LLL, mas tem um vizinho, o caso LLA, que às vezes admite duas respostas diferentes para os mesmos dados.

LAL direto, LLA ambíguo e a desigualdade triangular

No caso LAL, a fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos(C) dá o lado que falta direto. Com a = 5, b = 7 e o ângulo entre eles C = 60°: c² = 25 + 49 − 2×5×7×cos(60°) = 74 − 35 = 39, então c = √39 ≈ 6,244998. Quando C = 90°, cos(90°) = 0 e o termo final some, sobrando c² = a² + b², a própria fórmula de Pitágoras.
O caso LLA, dois lados e um ângulo que não está entre eles, é resolvido pela lei dos senos e pode ter duas soluções. Com o ângulo A = 30° oposto ao lado a = 4, e um segundo lado b = 7, sen(B) = 7×sen(30°) ÷ 4 = 0,875 admite tanto B ≈ 61,05° quanto B ≈ 180° − 61,05° = 118,95°: os dois ângulos têm o mesmo seno, e ambos completam um triângulo válido com os mesmos três dados de entrada.
Antes de qualquer ângulo, três lados só formam um triângulo se passarem na desigualdade triangular: a soma de dois lados quaisquer tem que superar o terceiro. Com 2, 3 e 6, 2 + 3 = 5 não é maior que 6, então não existe triângulo, e a lei dos cossenos nem chega a ser aplicada. Já 3, 4 e 5 passam (3 + 4 = 7 > 5) e formam um triângulo retângulo, confirmado porque cos C = (9 + 16 − 25) ÷ 24 = 0, ou seja, C = 90°.

Exemplos

Caso LAL

Entrada: a=5, b=7, C=60°
Saída esperada: c ≈ 6,244998

c² = 25 + 49 − 2×5×7×cos(60°) = 39, e √39 ≈ 6,244998; cos(60°) = 0,5 é um valor notável, sem aproximação.

Caso LLA ambíguo

Entrada: A=30°, a=4, b=7
Saída esperada: ambíguo: B ≈ 61,05° ou 118,95°

sen(B) = 0,875 tem duas soluções possíveis entre 0° e 180°, então os mesmos três dados de entrada completam dois triângulos diferentes.

Lados que não formam triângulo

Entrada: a=2, b=3, c=6
Saída esperada: Esses valores não formam um triângulo válido.

2 + 3 = 5 é menor que 6, violando a desigualdade triangular antes mesmo de calcular qualquer ângulo.

FAQ da ferramenta completa

Quais combinações de medidas resolvem um triângulo?

Os casos clássicos: LLL (três lados), LAL (dois lados e o ângulo entre eles), ALA e AAL (dois ângulos e um lado) e LLA (dois lados e um ângulo não incluído). Sempre é preciso ao menos um lado.

Quando uso a lei dos cossenos e quando uso a dos senos?

Por que só ângulos não bastam?

O que é o caso ambíguo (LLA)?

Como a área é calculada?

Como o triângulo é classificado?

O que é a desigualdade triangular?

Como as alturas são calculadas?

Perguntas frequentes

Quando a lei dos cossenos vira o teorema de Pitágoras?

Quando C = 90°, cos(90°) = 0 elimina o último termo, sobrando c² = a² + b²; o triângulo de lados 3, 4 e 5 confirma isso, porque cos C = (9+16−25) ÷ 24 = 0.

Por que o caso LLA pode ter duas respostas?

Porque o arco-seno pode devolver dois ângulos, θ e 180° − θ, com o mesmo seno; com A = 30°, a = 4 e b = 7, sen(B) = 0,875 aceita tanto B ≈ 61,05° quanto B ≈ 118,95°, formando dois triângulos distintos com os mesmos dados.

Como saber se três lados formam um triângulo?

Aplique a desigualdade triangular, a soma de dois lados quaisquer precisa superar o terceiro; 2, 3 e 6 falham (2+3=5≤6), enquanto 3, 4 e 5 passam (3+4=7>5), verificação que a calculadora faz antes de tentar qualquer ângulo.

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Lei dos Cossenos

LAL direto, LLA ambíguo e a desigualdade triangular

No caso LAL, a fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos(C) dá o lado que falta direto. Com a = 5, b = 7 e o ângulo entre eles C = 60°: c² = 25 + 49 − 2×5×7×cos(60°) = 74 − 35 = 39, então c = √39 ≈ 6,244998. Quando C = 90°, cos(90°) = 0 e o termo final some, sobrando c² = a² + b², a própria fórmula de Pitágoras.

O caso LLA, dois lados e um ângulo que não está entre eles, é resolvido pela lei dos senos e pode ter duas soluções. Com o ângulo A = 30° oposto ao lado a = 4, e um segundo lado b = 7, sen(B) = 7×sen(30°) ÷ 4 = 0,875 admite tanto B ≈ 61,05° quanto B ≈ 180° − 61,05° = 118,95°: os dois ângulos têm o mesmo seno, e ambos completam um triângulo válido com os mesmos três dados de entrada.

Antes de qualquer ângulo, três lados só formam um triângulo se passarem na desigualdade triangular: a soma de dois lados quaisquer tem que superar o terceiro. Com 2, 3 e 6, 2 + 3 = 5 não é maior que 6, então não existe triângulo, e a lei dos cossenos nem chega a ser aplicada. Já 3, 4 e 5 passam (3 + 4 = 7 > 5) e formam um triângulo retângulo, confirmado porque cos C = (9 + 16 − 25) ÷ 24 = 0, ou seja, C = 90°.

Exemplos

Caso LAL

Entrada: a=5, b=7, C=60°
Saída esperada: c ≈ 6,244998

c² = 25 + 49 − 2×5×7×cos(60°) = 39, e √39 ≈ 6,244998; cos(60°) = 0,5 é um valor notável, sem aproximação.

Caso LLA ambíguo

Entrada: A=30°, a=4, b=7
Saída esperada: ambíguo: B ≈ 61,05° ou 118,95°

sen(B) = 0,875 tem duas soluções possíveis entre 0° e 180°, então os mesmos três dados de entrada completam dois triângulos diferentes.

Lados que não formam triângulo

Entrada: a=2, b=3, c=6
Saída esperada: Esses valores não formam um triângulo válido.

2 + 3 = 5 é menor que 6, violando a desigualdade triangular antes mesmo de calcular qualquer ângulo.

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Quais combinações de medidas resolvem um triângulo?

Os casos clássicos: LLL (três lados), LAL (dois lados e o ângulo entre eles), ALA e AAL (dois ângulos e um lado) e LLA (dois lados e um ângulo não incluído). Sempre é preciso ao menos um lado.

Quando uso a lei dos cossenos e quando uso a dos senos?

Por que só ângulos não bastam?

O que é o caso ambíguo (LLA)?

Como a área é calculada?

Como o triângulo é classificado?

O que é a desigualdade triangular?

Como as alturas são calculadas?

Perguntas frequentes

Quando a lei dos cossenos vira o teorema de Pitágoras?

Quando C = 90°, cos(90°) = 0 elimina o último termo, sobrando c² = a² + b²; o triângulo de lados 3, 4 e 5 confirma isso, porque cos C = (9+16−25) ÷ 24 = 0.