Calculadora de Equação do 2.° Grau

Q: Por que o Brasil chama a fórmula quadrática de "fórmula de Bhaskara"?

É uma convenção de ensino local em homenagem ao matemático indiano Bhaskara II (1114-1185); o método de completar quadrados para resolver equações do segundo grau, porém, já circulava séculos antes dele. Fora do Brasil, incluindo países de língua inglesa, o nome usado é apenas "quadratic formula", sem atribuição pessoal.

Q: Quando Δ é positivo e existem duas raízes reais válidas, eu sempre uso as duas?

Matematicamente sim, mas em problemas com contexto físico (tempo, comprimento, quantidade), uma raiz pode não fazer sentido prático e deve ser descartada. No exemplo da queda de um objeto, uma das duas raízes é um tempo negativo, que não corresponde a nenhum instante real, então só a raiz positiva é usada como resposta.

Q: Como confirmo que uma raiz que a calculadora devolveu está mesmo correta?

Substitua o valor de volta na equação original ax²+bx+c e confira se o resultado é exatamente zero. Para 2x²−7x+3=0, tanto x=3 quanto x=0,5 satisfazem essa condição: 2×9−21+3=0 e 2×0,25−3,5+3=0, confirmando as duas raízes sem precisar refazer a fórmula.

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fórmula de Bhaskara

Fórmula de Bhaskara, Resolução Passo a Passo

A fórmula de Bhaskara resolve qualquer ax²+bx+c=0 com a≠0: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a). Depois de calcular as raízes, dá para confirmar cada uma sem refazer a conta inteira: basta substituir o valor de volta na equação original e ver se o resultado bate com zero.

Verificando as raízes e aplicando a fórmula na prática

Para 2x²−7x+3=0 (a=2, b=−7, c=3), Δ=(−7)²−4×2×3=49−24=25, e as raízes ficam x₁=(7+5)/4=3 e x₂=(7−5)/4=0,5. Para confirmar sem repetir a fórmula, basta substituir cada valor na equação original: 2×3²−7×3+3=18−21+3=0 e 2×0,5²−7×0,5+3=0,5−3,5+3=0. As duas batem em zero, então as raízes estão corretas; esse é o mesmo teste que funciona para qualquer equação quadrática, com coeficientes inteiros ou não.
A fórmula também resolve problemas físicos reais, não só exercícios abstratos. Um objeto lançado de 1 m de altura com velocidade inicial de 20 m/s segue h(t)=−4,9t²+20t+1, em que o coeficiente −4,9 vem de −g/2 com g≈9,8 m/s² (aceleração da gravidade). Igualando h(t)=0 para achar quando o objeto toca o chão: a=−4,9, b=20, c=1, Δ=400−4×(−4,9)×1=419,6, e as raízes são t≈−0,04940206189 e t≈4,131034715. Como tempo negativo não existe fisicamente, só a segunda raiz importa: o objeto toca o chão aproximadamente 4,13 segundos depois do lançamento.
O nome "fórmula de Bhaskara" é uma convenção quase exclusivamente brasileira: ela homenageia o matemático indiano Bhaskara II (1114-1185), autor dos tratados Lilavati e Bijaganita, mas o método de resolver equações do segundo grau completando quadrados já era conhecido séculos antes dele, por matemáticos como Sridhara (por volta do século IX). Na maioria dos países, incluindo os de língua inglesa, ela é chamada simplesmente de "quadratic formula" ("fórmula quadrática"), sem atribuição a nenhum matemático específico.

Exemplos

Verificação por substituição

Entrada: a=2, b=-7, c=3
Saída esperada: x₁ = 3, x₂ = 0.5

Δ=25 é quadrado perfeito; substituindo x=3 e x=0,5 de volta em 2x²−7x+3, os dois resultados dão exatamente zero.

Queda de um objeto lançado (física)

Entrada: a=-4.9, b=20, c=1
Saída esperada: x₁ ≈ -0.049 (descartada), x₂ ≈ 4.131034715

Só a raiz positiva tem sentido físico: o objeto toca o chão cerca de 4,13 s após o lançamento; a raiz negativa é um artefato matemático da parábola, não um instante real.

Raízes irracionais ligadas a √2

Entrada: a=1, b=-2, c=-1
Saída esperada: x₁ ≈ 2.414213562, x₂ ≈ -0.4142135624

Δ=8=4×2, então √Δ=2√2≈2,828427125; as raízes equivalem a 1+√2 e 1−√2, já que √2≈1,414213562.

FAQ da ferramenta completa

O que é discriminante (Δ)?

O discriminante Δ = b²−4ac determina a natureza das raízes: Δ>0 → dois reais distintos; Δ=0 → raiz dupla; Δ<0 → sem raízes reais.

Por que 'a' não pode ser zero?

O que são raízes complexas?

Como verificar o resultado?

Quais são as limitações de precisão?

Posso resolver x²−5=0 (sem termo bx)?

O que é a fórmula de Bhaskara?

Posso ter raízes fracionárias?

Perguntas frequentes

Por que o Brasil chama a fórmula quadrática de "fórmula de Bhaskara"?

É uma convenção de ensino local em homenagem ao matemático indiano Bhaskara II (1114-1185); o método de completar quadrados para resolver equações do segundo grau, porém, já circulava séculos antes dele. Fora do Brasil, incluindo países de língua inglesa, o nome usado é apenas "quadratic formula", sem atribuição pessoal.

Quando Δ é positivo e existem duas raízes reais válidas, eu sempre uso as duas?

Matematicamente sim, mas em problemas com contexto físico (tempo, comprimento, quantidade), uma raiz pode não fazer sentido prático e deve ser descartada. No exemplo da queda de um objeto, uma das duas raízes é um tempo negativo, que não corresponde a nenhum instante real, então só a raiz positiva é usada como resposta.

Como confirmo que uma raiz que a calculadora devolveu está mesmo correta?

Substitua o valor de volta na equação original ax²+bx+c e confira se o resultado é exatamente zero. Para 2x²−7x+3=0, tanto x=3 quanto x=0,5 satisfazem essa condição: 2×9−21+3=0 e 2×0,25−3,5+3=0, confirmando as duas raízes sem precisar refazer a fórmula.

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fórmula de Bhaskara

Fórmula de Bhaskara, Resolução Passo a Passo

Verificando as raízes e aplicando a fórmula na prática

Para 2x²−7x+3=0 (a=2, b=−7, c=3), Δ=(−7)²−4×2×3=49−24=25, e as raízes ficam x₁=(7+5)/4=3 e x₂=(7−5)/4=0,5. Para confirmar sem repetir a fórmula, basta substituir cada valor na equação original: 2×3²−7×3+3=18−21+3=0 e 2×0,5²−7×0,5+3=0,5−3,5+3=0. As duas batem em zero, então as raízes estão corretas; esse é o mesmo teste que funciona para qualquer equação quadrática, com coeficientes inteiros ou não.

A fórmula também resolve problemas físicos reais, não só exercícios abstratos. Um objeto lançado de 1 m de altura com velocidade inicial de 20 m/s segue h(t)=−4,9t²+20t+1, em que o coeficiente −4,9 vem de −g/2 com g≈9,8 m/s² (aceleração da gravidade). Igualando h(t)=0 para achar quando o objeto toca o chão: a=−4,9, b=20, c=1, Δ=400−4×(−4,9)×1=419,6, e as raízes são t≈−0,04940206189 e t≈4,131034715. Como tempo negativo não existe fisicamente, só a segunda raiz importa: o objeto toca o chão aproximadamente 4,13 segundos depois do lançamento.

O nome "fórmula de Bhaskara" é uma convenção quase exclusivamente brasileira: ela homenageia o matemático indiano Bhaskara II (1114-1185), autor dos tratados Lilavati e Bijaganita, mas o método de resolver equações do segundo grau completando quadrados já era conhecido séculos antes dele, por matemáticos como Sridhara (por volta do século IX). Na maioria dos países, incluindo os de língua inglesa, ela é chamada simplesmente de "quadratic formula" ("fórmula quadrática"), sem atribuição a nenhum matemático específico.

Exemplos

Verificação por substituição

Entrada: a=2, b=-7, c=3
Saída esperada: x₁ = 3, x₂ = 0.5

Δ=25 é quadrado perfeito; substituindo x=3 e x=0,5 de volta em 2x²−7x+3, os dois resultados dão exatamente zero.

Queda de um objeto lançado (física)

Entrada: a=-4.9, b=20, c=1
Saída esperada: x₁ ≈ -0.049 (descartada), x₂ ≈ 4.131034715

Só a raiz positiva tem sentido físico: o objeto toca o chão cerca de 4,13 s após o lançamento; a raiz negativa é um artefato matemático da parábola, não um instante real.

Raízes irracionais ligadas a √2

Entrada: a=1, b=-2, c=-1
Saída esperada: x₁ ≈ 2.414213562, x₂ ≈ -0.4142135624

Δ=8=4×2, então √Δ=2√2≈2,828427125; as raízes equivalem a 1+√2 e 1−√2, já que √2≈1,414213562.

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O que é discriminante (Δ)?

O discriminante Δ = b²−4ac determina a natureza das raízes: Δ>0 → dois reais distintos; Δ=0 → raiz dupla; Δ<0 → sem raízes reais.

Por que 'a' não pode ser zero?

O que são raízes complexas?

Como verificar o resultado?

Quais são as limitações de precisão?

Posso resolver x²−5=0 (sem termo bx)?

O que é a fórmula de Bhaskara?

Posso ter raízes fracionárias?

Perguntas frequentes