MDC, MMC e fatoração em primos
MDC e MMC resolvem perguntas opostas sobre os mesmos números: o maior divisor que cabe em todos, e o menor múltiplo que todos cabem nele. Esta página mostra os dois cálculos com fatoração em primos e a identidade que liga MDC e MMC quando há exatamente dois números.
Essa conferência cruzada (MDC × MMC = produto) é a forma mais rápida de checar se um MDC de dois números está certo, sem refazer a fatoração.
O MDC não muda em relação ao par (12,18) porque 30 também é múltiplo de 6; já o MMC salta de 36 para 180 porque 30 traz o fator primo 5, ausente em 12 e em 18.
O MDC usa o menor expoente comum de cada primo (2¹ e 3¹, já que 5 não aparece nos três), e o MMC usa o maior expoente de cada primo presente em qualquer número (2², 3² e 5¹).
MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior número inteiro positivo que divide todos os números do conjunto sem deixar resto. Ele pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides ou comparando as fatorações primas e tomando a menor potência de cada primo comum. Por exemplo, MDC(12, 18) = 6.
Se dois números não compartilham fator primo algum (são coprimos), o MDC é sempre 1 e o MMC é sempre o produto dos dois; é o caso extremo da identidade MDC×MMC=a×b, já que MDC=1 obriga MMC=a×b.
Porque multiplicar contaria fatores primos repetidos mais de uma vez; o cálculo correto reduz aos pares em sequência (MMC(MMC(a,b),c)), reaproveitando o resultado anterior em vez de recomeçar do zero, o que também evita estouro em passos intermediários.
Até 10 números inteiros positivos por cálculo, cada um até 10^30; esse teto existe porque a fatoração por divisão sucessiva fica impraticavelmente lenta bem antes disso para números sem fatores pequenos.
Não: o MMC é sempre maior ou igual ao maior número da lista, porque por definição precisa ser múltiplo de todos, inclusive do maior; MMC(12,18,30)=180 é maior que 30 por essa razão, embora possa coincidir com o maior número quando ele já é múltiplo dos outros.
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