Calcule o Máximo Divisor Comum e o Mínimo Múltiplo Comum de até 10 números inteiros.
O Máximo Divisor Comum (MDC) de um conjunto de inteiros é o maior número que divide todos eles sem deixar resto; o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor inteiro positivo do qual todos são divisores. A ferramenta encontra o MDC pelo algoritmo de Euclides iterativo, substituindo repetidamente o maior número pelo resto da divisão pelo menor, e obtém o MMC pela identidade MMC(a, b) = (a ÷ MDC(a, b)) · b, estendendo os dois para até 10 números de forma encadeada: MDC(a, b, c) = MDC(MDC(a, b), c). Também exibe a fatoração prima de cada entrada por divisões sucessivas, que é o método clássico feito à mão. Toda a aritmética usa BigInt, então entradas de até 10³⁰ permanecem exatas; um MMC que ultrapassaria 10³⁰ é sinalizado em vez de impresso. Vale a relação fundamental a · b = MDC(a, b) · MMC(a, b), que conecta os dois conceitos.
O MDC é calculado pelo algoritmo de Euclides: divide-se o maior pelo menor, guarda-se o resto e repete-se com (menor, resto) até o resto ser zero, o último divisor não nulo é o MDC. Para mais de dois números, aplica-se em cascata, par a par.
O MMC vem da identidade MDC(a, b) · MMC(a, b) = a · b, logo MMC(a, b) = (a ÷ MDC(a, b)) · b. A fatoração prima confirma o resultado: o MDC toma a MENOR potência de cada primo comum, e o MMC toma a MAIOR potência de cada primo que aparece.
Exemplo 1, dois números: 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3². O MDC toma 2¹ · 3¹ = 6; o MMC toma 2² · 3² = 36. Conferindo pela identidade: 12 · 18 = 216 = 6 · 36.
Exemplo 2, três números (8, 12, 20): MDC(8, 12) = 4 e MDC(4, 20) = 4, então MDC = 4. Para o MMC: MMC(8, 12) = 24 e MMC(24, 20) = 120, então MMC = 120 (o menor número divisível por 8, 12 e 20).
Quando os números são coprimos (não têm fator comum além de 1), o MDC é 1 e o MMC é simplesmente o produto de todos. Zero não é aceito, pois todo número divide zero (o MDC ficaria indefinido) e o MMC deixaria de ter sentido, por convenção, MDC e MMC são definidos para inteiros positivos.
O MDC serve para simplificar frações à forma irredutível e para dividir quantidades em grupos iguais; o MMC serve para achar o mínimo denominador comum, sincronizar eventos periódicos (semáforos, engrenagens) e resolver problemas de repetição em ciclos.
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title="Calculadora MDC e MMC"
></iframe>Estas referências ajudam a contextualizar fórmulas, padrões, APIs e limitações usadas nesta página. Elas não substituem validação profissional quando o resultado tiver impacto jurídico, financeiro, médico ou operacional.
MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior número inteiro positivo que divide todos os números do conjunto sem deixar resto. Ele pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides ou comparando as fatorações primas e tomando a menor potência de cada primo comum. Por exemplo, MDC(12, 18) = 6.
Números
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