Fibonacci e razão áurea
A sequência de Fibonacci soma sempre os dois termos anteriores, e a razão entre termos consecutivos converge para um número irracional famoso, a razão áurea φ. Esta página mostra essa convergência, o limite real que o gerador impõe e por que o JavaScript comum quebraria essa conta sem BigInt.
Com poucos termos, a razão ainda erra na 3ª casa decimal em relação a φ = 1,6180339887..., embora já esteja visivelmente perto.
Esse valor já não cabe com exatidão em Number.MAX_SAFE_INTEGER (2^53-1 = 9.007.199.254.740.991); o gerador continua exato porque soma os termos com BigInt, não Number.
500 é o máximo de termos que o gerador aceita de uma vez; mesmo em números com mais de 100 dígitos, a razão entre os dois últimos termos continua batendo com φ nas primeiras 10 casas decimais.
É a sequência de inteiros em que cada termo é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Define-se por F(n) = F(n−1) + F(n−2), com F(0) = 0 e F(1) = 1. Leonardo de Pisa, o Fibonacci, a apresentou na Europa em 1202 no Liber Abaci, num problema sobre a reprodução de coelhos. A sequência já era conhecida na matemática indiana, em estudos de métrica poética.
φ = (1+√5)/2 = 1,6180339887498948..., um número irracional que nunca termina nem repete; a sequência de Fibonacci é só uma das formas mais conhecidas de se aproximar dele, e a aproximação melhora a cada termo adicional.
Por convenção matemática moderna, a sequência começa em F(0)=0 e F(1)=1; algumas fontes mais antigas começam a contagem em F(1)=1 e F(2)=1, omitindo o zero inicial, mas o gerador segue a convenção com índice zero, então o termo de índice 10 é F(10)=55.
Não: a razão entre proporções de crescimento em espirais de conchas, no arranjo de sementes de girassol e na filotaxia de folhas costuma se aproximar da razão áurea, mas isso é um padrão de crescimento biológico aproximado, não uma contagem exata de termos de Fibonacci.
Porque o tipo Number do JavaScript representa inteiros com exatidão só até 2^53-1; a partir de F(79), somas com Number começariam a arredondar e produzir termos levemente errados, então o gerador soma os termos com BigInt, que não tem esse teto, para manter os 500 termos exatos até o último dígito.
4181| Índice | Valor | Paridade |
|---|---|---|
| F(0) | 0 | par |
| F(1) | 1 | ímpar |
| F(2) | 1 | ímpar |
| F(3) | 2 | par |
| F(4) | 3 | ímpar |
| F(5) | 5 | ímpar |
| F(6) | 8 | par |
| F(7) | 13 | ímpar |
| F(8) | 21 | ímpar |
| F(9) | 34 | par |
| F(10) | 55 | ímpar |
| F(11) | 89 | ímpar |
| F(12) | 144 | par |
| F(13) | 233 | ímpar |
| F(14) | 377 | ímpar |
| F(15) | 610 | par |
| F(16) | 987 | ímpar |
| F(17) | 1597 | ímpar |
| F(18) | 2584 | par |
| F(19) | 4181 | ímpar |
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