Calcule C(n,r) e combinações com repetição. Fórmula, etapas e resultado BigInt.
Combinação é a contagem das maneiras de escolher r elementos de um conjunto de n quando a ordem NÃO importa, {A, B} e {B, A} representam a mesma escolha. Sem repetição, a contagem é C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!), lida como 'n escolhe r' e escrita como coeficiente binomial. Com repetição (um multiconjunto, em que o mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez) a contagem é CR(n, r) = C(n + r − 1, r). Para manter a exatidão, a ferramenta avalia o binomial com um laço multiplicativo em BigInt em vez de construir fatoriais gigantes, e usa a simetria C(n, r) = C(n, n − r) para encurtar o laço. Combinações estão por trás das probabilidades de loteria, da contagem de mãos de pôquer, da escolha de comissões e dos coeficientes da expansão binomial.
Sem repetição, o coeficiente binomial é C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!). Como a ordem não importa, dividimos a permutação P(n, r) pelas r! ordenações redundantes de cada seleção, ou seja, C(n, r) = P(n, r) / r!. A ferramenta calcula o binomial de forma multiplicativa e aproveita C(n, r) = C(n, n − r), evitando números intermediários enormes.
Com repetição, contamos multiconjuntos de tamanho r com n tipos disponíveis: CR(n, r) = C(n + r − 1, r). Todo o cálculo usa inteiros de precisão arbitrária (BigInt), com resultado exato até o limite de exibição de 10¹⁰⁰.
Exemplo 1, sem repetição: de quantas formas escolher 2 pessoas de um grupo de 5 (sem ordem)? C(5, 2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10.
Exemplo 2, caso real: na Mega-Sena marcam-se 6 números entre 60, então há C(60, 6) = 50.063.860 apostas possíveis, essa é a chance de um único jogo levar o prêmio.
Vale sempre C(n, 0) = 1 (há uma única forma de não escolher nada) e C(n, n) = 1 (uma única forma de escolher tudo). Sem repetição, r não pode passar de n; com repetição, r pode ser maior que n, e o resultado cresce rápido rumo ao overflow de 10¹⁰⁰.
Combinações aparecem em probabilidade e loterias, contagem de mãos em jogos de cartas, biologia (combinações de genes), formação de comissões e nos coeficientes do triângulo de Pascal e da expansão de (a + b)ⁿ.
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title="Calculadora de Combinação"
></iframe>Estas referências ajudam a contextualizar fórmulas, padrões, APIs e limitações usadas nesta página. Elas não substituem validação profissional quando o resultado tiver impacto jurídico, financeiro, médico ou operacional.
Combinação é uma seleção de r elementos de um conjunto de n em que a ordem dos elementos escolhidos não importa. Por exemplo, escolher 2 frutas de {maçã, pera, uva} resulta em 3 combinações: {maçã, pera}, {maçã, uva} e {pera, uva}. A quantidade é dada por C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!).
C(n, r) = n! / (r! × (n−r)!)
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