Probabilidade de dados em RPG: vantagem, desvantagem e dados explosivos

O d20 é uma reta, não um sino

Um d20 tem 20 faces e cada uma sai com a mesma chance: 1/20, ou 5%. Essa é uma distribuição uniforme, também chamada de "plana", porque se você desenhar um gráfico de barras com a chance de cada resultado, todas as barras têm a mesma altura. Não existe "resultado mais comum" num d20 solitário, o 10 sai tão frequentemente quanto o 1 ou o 20. Disso sai uma fórmula simples: a chance de um único d20 bater um resultado mínimo n é (21 − n)/20, porque existem (21 − n) faces de n até 20. Precisar de 11 ou mais para acertar, por exemplo, cobre os resultados 11 a 20, dez faces em vinte, ou seja, exatamente 50%.

Esse baseline plano é o que três mecânicas clássicas de RPG mexem, cada uma de um jeito diferente. A vantagem e a desvantagem de D&D rolam o mesmo d20 duas vezes e escolhem qual metade fica. Sistemas como GURPS trocam o d20 por 3d6, o que substitui a reta por um sino. E dados "explosivos" deixam um único dado, normalmente pequeno, crescer indefinidamente quando estoura o teto. As três seções seguintes derivam a conta de cada uma, com os números batidos à mão e conferidos por simulação, não copiados de algum fórum.

Distribuição uniforme

Todo resultado tem a mesma probabilidade. Um único d20 é o exemplo clássico: 5% para cada face.

Curva de sino

Resultados do meio saem muito mais que os extremos, porque há mais combinações de dados que somam um valor médio.

Dificuldade (DC)

O resultado mínimo que o teste exige. "Precisa de 11+" é uma dificuldade de 50% num d20 normal.

Dado explosivo

Ao tirar o valor máximo, você rola de novo e soma, podendo encadear várias vezes seguidas.

Valor esperado

A média de longo prazo de uma rolagem, ponderando cada resultado possível pela sua probabilidade.

Vantagem e desvantagem: a matemática de rolar duas vezes

A regra, tirada direto do System Reference Document (SRD) de D&D 5ª edição, é simples de enunciar: quando você tem vantagem, role dois d20 e use o maior resultado; quando tem desvantagem, role dois e use o menor. É exatamente o que o rolador de dados faz no modo de vantagem/desvantagem: ele rola as duas tiradas e mostra qual delas conta. A parte que engana é achar que "rolar duas vezes" dobra a chance. Não dobra, o que muda é a probabilidade de pelo menos uma das duas tiradas bater o alvo, e essa conta depende da dificuldade.

1. Comece pela chance de um único dadoNum d20 normal, (21 − n)/20 dos resultados batem n ou mais. Para n = 11, isso é 10/20 = 50%.
2. Vantagem é o complemento de "os dois falharem"Com vantagem, você só falha se AMBOS os d20 derem menos que n. A chance de um dado falhar é (n − 1)/20; como os dois são independentes, a chance de os dois falharem é essa fração ao quadrado.
3. Subtraia de 1P(vantagem ≥ 11) = 1 − (10/20)² = 1 − 0,25 = 0,75, ou seja, 75%. Confira: com dois d20, só 100 dos 400 pares possíveis (20 × 20) têm as duas tiradas abaixo de 11, e 400 − 100 = 300, exatamente 75% de 400.
4. Desvantagem é o espelhoCom desvantagem, você só passa se AMBOS os dados baterem n. P(desvantagem ≥ 11) = (10/20)² = 0,25, ou seja, 25%, o mesmo tanto que a vantagem ganhou, só que do lado ruim.
5. Confira nos extremosEm n = 1 (impossível falhar) e n = 20 (só um 20 natural serve), vantagem e desvantagem quase se encostam na linha normal: rolar duas vezes não ajuda muito quando o resultado já era quase certo ou quase impossível.

O efeito da vantagem em cada dificuldade, de 1 a 20

Plotando P(≥ n) para as três curvas, normal, vantagem e desvantagem, em cada dificuldade de 1 a 20, dá para ver onde a vantagem realmente compensa. O ganho é maior exatamente onde já era um 50/50: precisar de 11+ ganha 25 pontos percentuais (de 50% para 75%). Nos dois extremos, precisar de 2+ ou de 20+, o ganho cai para 4,75 pontos percentuais, porque não sobra muito espaço para melhorar um resultado que já era quase certo, nem muito o que fazer com um que já era quase impossível. A curva é simétrica: o mesmo padrão se repete ao contrário para a desvantagem.

A lição prática para quem está mestrando: dar vantagem num teste que já era fácil (precisar de 6+) é um mimo pequeno, sobe de 75% para 93,75%; dar vantagem num teste apertado (precisar de 16+) é o que realmente muda o jogo na mesa, quase dobra a chance, de 25% para 43,75%. É por isso que vantagem "parece" mais forte em testes difíceis: em termos relativos, ela realmente é.

Somar dados cria um sino: 3d6 contra o d20

Nem todo sistema resolve testes com um d20 solitário. O GURPS, da Steve Jackson Games, usa 3d6 como mecânica-base: você rola três dados de seis lados, soma e precisa tirar igual ou menos que o seu nível de perícia ("roll under"). O Traveller, no seu formato atual publicado pela Mongoose, usa uma variante parecida, mas com dois dados: rola 2d6, soma modificadores e precisa bater um número-alvo, normalmente 8. Os dois trocam a reta do d20 por uma curva, porque somar dados independentes concentra o resultado no meio: há muito mais jeitos de somar um valor médio do que um valor extremo.

Dá para ver isso contando combinações. Em 3d6 existem 6³ = 216 resultados ordenados possíveis (cada dado, 6 valores, três dados). Só há uma única combinação que soma 3 (1-1-1) e uma única que soma 18 (6-6-6). Mas somar 10, por exemplo, tem seis conjuntos diferentes de valores: {1,3,6}, {1,4,5}, {2,2,6}, {2,3,5}, {2,4,4} e {3,3,4}, e cada um pode sair em uma ordem diferente nos três dados. Contando as ordens (permutações) de cada conjunto, dá exatamente 27 jeitos de tirar 10, e outros 27 de tirar 11. Ou seja, tirar 10 ou 11 em 3d6 é 27 vezes mais provável do que tirar 3 ou 18.

Na prática, isso muda o "feeling" do sistema. Num d20, um personagem mediano e um excepcional têm curvas igualmente largas: um bônus de +3 desloca a reta inteira igualzinho, em qualquer dificuldade. Num sistema de 3d6, o mesmo bônus de +3 desloca a curva, mas o efeito é mais forte perto do centro (onde a maioria dos testes acontece) e mais fraco nas pontas, porque ali já sobra pouca massa de probabilidade para deslocar. É a mesma lógica da vantagem em D&D, só que embutida na forma do dado, em vez de numa regra à parte.

Dados explosivos: a série geométrica escondida no d6

Alguns sistemas usam dados "abertos" ou "explosivos": ao tirar o valor máximo, você rola de novo e soma o resultado, podendo encadear indefinidamente. O Savage Worlds, da Pinnacle Entertainment Group, chama isso de "Ace" (dado que "abre"), e o aplica a todos os testes de trait e de dano. Além disso, jogadores e NPCs importantes ("Wild Cards") rolam um dado extra de seis lados chamado Wild Die junto com o dado de trait, ficando com o maior dos dois, e o Wild Die também pode abrir. Um dado explosivo pode, em teoria, crescer para sempre, mas cada explosão extra é geometricamente mais rara que a anterior, então o valor esperado continua sendo um número finito e calculável.

1. A chance de explodir k vezes seguidasCada explosão exige tirar o valor máximo, chance 1/n num dado de n lados. Explodir k vezes seguidas tem chance (1/n)ᵏ, cada vez mais rara.
2. Some essa série geométricaO número esperado de dados rolados antes de parar é 1 + 1/n + 1/n² + ... , uma série geométrica clássica que converge para 1/(1 − 1/n) = n/(n − 1).
3. Multiplique pela média de um dado comumCada dado individualmente rolado, explodindo ou não, ainda tem média (n + 1)/2. O valor esperado total é essa média vezes o número esperado de dados.
4. Feche a fórmulaE = (n + 1)/2 × n/(n − 1) = n(n + 1) / (2(n − 1)).

Conferindo num d6: E = 6 × 7 / (2 × 5) = 42/10 = 4,2, contra a média normal de (6 + 1)/2 = 3,5, um aumento de 20%. Rodei uma simulação de 2 milhões de rolagens de um d6 explosivo e a média saiu em 4,2016, quase idêntica ao valor fechado. Vale notar que dados menores explodem proporcionalmente mais: um d4 explosivo (chance de 1/4 a cada rolagem) tem a média elevada em 33,3%, enquanto um d12 explosivo (chance de só 1/12) sobe apenas 9,1%. É por isso que o Wild Die do Savage Worlds usa justamente um d6, pequeno o bastante para explodir com frequência visível na mesa.

O que isso muda na mesa de jogo

As três mecânicas resolvem o mesmo problema, injetar variância controlada num teste, de jeitos diferentes. Vantagem e desvantagem são um ajuste pontual: elas pesam mais nos testes que já eram incertos e quase não mudam nada nos extremos, o que as torna previsíveis de aplicar mesmo sem calcular nada na hora. Trocar o d20 por 3d6 (ou 2d6, como o Traveller) é uma mudança estrutural: reduz a chance de resultados extremos em todo teste, o tempo todo, então personagens medianos raramente "erram feio" e personagens excepcionais raramente "acertam de qualquer jeito". E dados explosivos mantêm uma cauda longa sempre viva: por menor que seja a chance, um resultado gigante nunca está totalmente fora de alcance, o que é ótimo para o clímax de uma cena, mas exige aceitar que, de vez em quando, os dados vão fugir do controle.

O mesmo raciocínio, decompor a mecânica de um jogo até a conta de primeiros princípios, aparece em outros lugares do catálogo: os pity systems de jogos gacha usam uma lógica de probabilidade acumulada parecida com a das explosões, e a probabilidade das mãos de pôquer é outro caso de contar combinações para entender por que certos resultados são tão mais raros que outros.

• A dificuldade do teste está perto de 50%? É ali que vantagem e desvantagem pesam mais.
• Está trocando um d20 por dados somados (tipo 3d6)? Espere menos resultados extremos, não mais drama.
• O dado pode explodir? Quanto menor o número de lados, mais vezes ele tende a abrir.
• Testou a conta com números pequenos antes de aplicar na mesa toda? Vale simular no rolador de dados primeiro.