Calculadora de PA e PG

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Progressão Aritmética (PA)

Numa PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, a razão d. Duas fórmulas resolvem quase tudo: uma acha um termo qualquer sem listar a sequência inteira, a outra soma um bloco de termos sem somar um por um.

Termo geral e a soma de Gauss

O termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Para a₁ = 5 e d = 3, o 12.º termo é a₁₂ = 5 + (12 − 1)×3 = 5 + 33 = 38: a PA cresce 3 em 3 a partir de 5, então em 11 passos soma 33. Essa fórmula evita escrever os 12 termos só para saber o último.
A soma dos n primeiros termos é Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2. É a mesma conta que, segundo a história contada sobre o matemático alemão Carl Friedrich Gauss ainda criança, ele teria feito de cabeça ao somar 1 até 100: emparelhar o primeiro com o último (1+100=101), o segundo com o penúltimo (2+99=101) e assim por diante dá 50 pares de soma 101, total 5.050, exatamente o que S₁₀₀ = 100·(1+100) ÷ 2 = 5.050 confirma.
A razão d pode ser negativa, e as mesmas fórmulas continuam valendo: com a₁ = 50 e d = −4, os termos caem 50, 46, 42… até o 8.º termo, 22 (50 + 7×(−4) = 22), e a soma S₈ = 8·(50+22) ÷ 2 = 288. Como aₙ é linear em n, Sₙ acaba sendo quadrática em n, porque multiplica n por uma soma que também depende de n; é essa forma de parábola que separa o crescimento da soma de uma PA do crescimento exponencial da soma de uma PG.

Exemplos

A soma de Gauss

Entrada: a₁=1, d=1, n=100
Saída esperada: a₁₀₀ = 100 · S₁₀₀ = 5050

A lenda da soma que Gauss teria feito de cabeça: 50 pares somando 101 cada, ou direto pela fórmula, 100·(1+100) ÷ 2 = 5.050.

12.º termo e soma

Entrada: a₁=5, d=3, n=12
Saída esperada: a₁₂ = 38 · S₁₂ = 258

a₁₂ = 5 + 11×3 = 38, e S₁₂ = 12·(5+38) ÷ 2 = 258, aplicando as duas fórmulas a uma razão diferente de 1.

Razão negativa

Entrada: a₁=50, d=-4, n=8
Saída esperada: a₈ = 22 · S₈ = 288

Com razão negativa a PA decresce: 50, 46, 42… até 22 no 8.º termo, e a soma continua saindo da mesma fórmula, S₈ = 8·(50+22) ÷ 2 = 288.

FAQ da ferramenta completa

Qual a diferença entre PA e PG?

Na PA, somamos uma razão constante a cada termo (crescimento linear). Na PG, multiplicamos por uma razão constante (crescimento exponencial). PA: 2, 5, 8, 11… (d = 3). PG: 2, 6, 18, 54… (r = 3).

Como achar o termo geral de uma PA?

Como calcular a soma de uma PG?

A razão pode ser negativa ou decimal?

Quantos termos posso gerar?

Existe relação com a sequência de Fibonacci?

Como somar uma PG infinita com razão entre −1 e 1?

Onde PA e PG aparecem no mundo real?

Perguntas frequentes

De onde vem a fórmula da soma de Gauss?

De emparelhar o primeiro termo com o último repetidamente: em 1 a 100, 1+100=101, 2+99=101, e assim seguem 50 pares de soma 101, total 5.050, o mesmo valor que n·(a₁+aₙ) ÷ 2 = 100×101 ÷ 2 = 5.050 dá direto.

A razão de uma PA pode ser negativa?

Sim; com a₁ = 50 e d = −4 a sequência decresce, 50, 46, 42…, chegando a 22 no 8.º termo, com soma 288, usando as mesmas fórmulas aₙ e Sₙ de uma PA crescente.

Como descobrir se uma sequência é uma PA?

Verifique se a diferença entre termos consecutivos é constante: em 5, 8, 11, 14 a diferença é sempre 3, o que confirma d = 3 e identifica a sequência como uma PA.

Próximos passos

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Progressão Aritmética (PA)

Termo geral e a soma de Gauss

O termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Para a₁ = 5 e d = 3, o 12.º termo é a₁₂ = 5 + (12 − 1)×3 = 5 + 33 = 38: a PA cresce 3 em 3 a partir de 5, então em 11 passos soma 33. Essa fórmula evita escrever os 12 termos só para saber o último.

A soma dos n primeiros termos é Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2. É a mesma conta que, segundo a história contada sobre o matemático alemão Carl Friedrich Gauss ainda criança, ele teria feito de cabeça ao somar 1 até 100: emparelhar o primeiro com o último (1+100=101), o segundo com o penúltimo (2+99=101) e assim por diante dá 50 pares de soma 101, total 5.050, exatamente o que S₁₀₀ = 100·(1+100) ÷ 2 = 5.050 confirma.

A razão d pode ser negativa, e as mesmas fórmulas continuam valendo: com a₁ = 50 e d = −4, os termos caem 50, 46, 42… até o 8.º termo, 22 (50 + 7×(−4) = 22), e a soma S₈ = 8·(50+22) ÷ 2 = 288. Como aₙ é linear em n, Sₙ acaba sendo quadrática em n, porque multiplica n por uma soma que também depende de n; é essa forma de parábola que separa o crescimento da soma de uma PA do crescimento exponencial da soma de uma PG.

Exemplos

A soma de Gauss

Entrada: a₁=1, d=1, n=100
Saída esperada: a₁₀₀ = 100 · S₁₀₀ = 5050

A lenda da soma que Gauss teria feito de cabeça: 50 pares somando 101 cada, ou direto pela fórmula, 100·(1+100) ÷ 2 = 5.050.

12.º termo e soma

Entrada: a₁=5, d=3, n=12
Saída esperada: a₁₂ = 38 · S₁₂ = 258

a₁₂ = 5 + 11×3 = 38, e S₁₂ = 12·(5+38) ÷ 2 = 258, aplicando as duas fórmulas a uma razão diferente de 1.

Razão negativa

Entrada: a₁=50, d=-4, n=8
Saída esperada: a₈ = 22 · S₈ = 288

Com razão negativa a PA decresce: 50, 46, 42… até 22 no 8.º termo, e a soma continua saindo da mesma fórmula, S₈ = 8·(50+22) ÷ 2 = 288.

FAQ da ferramenta completa

Qual a diferença entre PA e PG?

Como achar o termo geral de uma PA?

Como calcular a soma de uma PG?

A razão pode ser negativa ou decimal?

Quantos termos posso gerar?

Existe relação com a sequência de Fibonacci?

Como somar uma PG infinita com razão entre −1 e 1?

Onde PA e PG aparecem no mundo real?

Perguntas frequentes

De onde vem a fórmula da soma de Gauss?

A razão de uma PA pode ser negativa?

Sim; com a₁ = 50 e d = −4 a sequência decresce, 50, 46, 42…, chegando a 22 no 8.º termo, com soma 288, usando as mesmas fórmulas aₙ e Sₙ de uma PA crescente.

Como descobrir se uma sequência é uma PA?

Verifique se a diferença entre termos consecutivos é constante: em 5, 8, 11, 14 a diferença é sempre 3, o que confirma d = 3 e identifica a sequência como uma PA.