Na PA, somamos uma razão constante a cada termo (crescimento linear). Na PG, multiplicamos por uma razão constante (crescimento exponencial). PA: 2, 5, 8, 11… (d = 3). PG: 2, 6, 18, 54… (r = 3).
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Progressões aritmética e geométrica: termo geral, soma e lista de termos.
Uma progressão é uma sequência com um padrão fixo entre termos vizinhos. Na progressão aritmética (PA), cada termo é o anterior somado a uma razão constante d, o que produz crescimento linear; o termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1)·d e a soma dos n primeiros termos é Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2. Na progressão geométrica (PG), cada termo é o anterior multiplicado por uma razão r, o que produz crescimento (ou decaimento) exponencial; o termo geral é aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ e a soma é Sₙ = a₁·(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) quando r ≠ 1 (se r = 1, todos os termos são iguais e Sₙ = a₁·n). A ferramenta gera de 1 até 1000 termos, calcula o n-ésimo termo, a soma parcial e mostra o passo a passo com o termo geral. A razão pode ser inteira, decimal ou negativa (ponto ou vírgula como separador). Tudo roda localmente no navegador com ponto flutuante de 64 bits.
A diferença essencial está no que se repete a cada passo. Na PA repete-se uma soma: você parte de a₁ e acrescenta d a cada termo, então o n-ésimo termo é aₙ = a₁ + (n − 1)·d, uma reta. Na PG repete-se uma multiplicação: você parte de a₁ e multiplica por r a cada termo, então aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, uma curva exponencial.
As somas seguem o mesmo espírito. A soma de uma PA é Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2, o número de termos vezes a média entre o primeiro e o último. A soma de uma PG é Sₙ = a₁·(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) quando r ≠ 1; no caso especial r = 1, a PG vira uma sequência constante e a soma é simplesmente a₁·n.
Exemplo 1, PA com a₁ = 3, d = 5, 6 termos: a sequência é 3, 8, 13, 18, 23, 28. O sexto termo é a₆ = 3 + (6 − 1)·5 = 3 + 25 = 28, e a soma é S₆ = 6·(3 + 28) ÷ 2 = 6·31 ÷ 2 = 93.
Exemplo 2, PG com a₁ = 2, r = 3, 4 termos: a sequência é 2, 6, 18, 54. O quarto termo é a₄ = 2·3⁴⁻¹ = 2·27 = 54, e a soma é S₄ = 2·(3⁴ − 1) ÷ (3 − 1) = 2·80 ÷ 2 = 80 (confere: 2 + 6 + 18 + 54 = 80).
A razão molda a sequência. Em PG, r negativo alterna o sinal dos termos (2, −6, 18, −54…); r entre −1 e 1 faz a sequência tender a zero (é o caso decrescente); e r > 1 dispara os valores rapidamente. Para PGs com razão grande e muitos termos, os números podem estourar a precisão do ponto flutuante, por isso o limite de 1000 termos e a atenção a valores gigantes.
As duas progressões modelam fenômenos diferentes. A PA descreve crescimento linear: parcelas fixas de um financiamento, poltronas que aumentam de fileira em fileira, depreciação constante. A PG descreve crescimento (ou decaimento) exponencial: juros compostos, crescimento populacional, meia-vida radioativa e a desvalorização de um bem que perde uma fração fixa por ano.
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Na PA, somamos uma razão constante a cada termo (crescimento linear). Na PG, multiplicamos por uma razão constante (crescimento exponencial). PA: 2, 5, 8, 11… (d = 3). PG: 2, 6, 18, 54… (r = 3).
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