O dígito verificador pode dar 0 ou 1?
Não. Como o DV é sempre 98 menos um resto de divisão por 97, e esse resto vai de 0 a 96, o resultado fica preso entre 2 e 98. Um número CNJ com DD igual a 00 ou 01 já está formalmente errado, sem precisar nem terminar a conta.
Dois processos podem ter o mesmo NNNNNNN?
Sim, e é comum: o NNNNNNN sozinho não identifica o processo, só a combinação completa com ano, segmento, tribunal e origem faz isso. É por isso que o dígito verificador entra na conta junto com esses outros 4 campos, não só com o número sequencial.
DV correto garante que o processo existe de fato?
Não. O DV só prova que os 20 dígitos são internamente consistentes entre si, uma checagem matemática de erro de digitação. Confirmar se o processo existe e está tramitando exige consultar o tribunal ou uma base como o DataJud, que puxa dados direto dos sistemas dos tribunais.