combinações e análise combinatória
Combinação conta quantos subconjuntos de tamanho r existem dentro de um conjunto de n itens, sem se importar com a ordem. Esta página mostra a fórmula, compara lado a lado com a permutação (onde a ordem importa) e cobre o caso com repetição permitida.
Escolher 2 letras entre A,B,C,D,E sem repetir e sem ligar para ordem dá 10 pares possíveis: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.
As mesmas 5 letras, mas agora AB e BA contam como resultados diferentes; o total dobra de 10 para 20 porque cada par tem 2! = 2 ordens possíveis.
Escolher 3 sabores entre 5, podendo repetir sabor (como 2 bolas de chocolate e 1 de morango), soma 35 combinações possíveis, 3,5 vezes mais que as 10 sem repetição do mesmo n e r.
Combinação é uma seleção de r elementos de um conjunto de n em que a ordem dos elementos escolhidos não importa. Por exemplo, escolher 2 frutas de {maçã, pera, uva} resulta em 3 combinações: {maçã, pera}, {maçã, uva} e {pera, uva}. A quantidade é dada por C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!).
Pergunte se trocar a ordem dos itens escolhidos gera um resultado diferente: escalar um pódio (1º, 2º, 3º lugar) é permutação, porque a posição importa; formar uma comissão de 3 pessoas entre 10 candidatos é combinação, porque só o conjunto final importa, não quem foi escolhido primeiro.
Porque escolher r itens para incluir equivale a escolher n-r itens para deixar de fora; C(5,2)=10 é igual a C(5,3)=10 por essa simetria, e a ferramenta usa essa propriedade para simplificar o cálculo, sempre multiplicando pelo menor entre r e n-r.
Acontece quando r é maior que n: não existe como escolher, por exemplo, 7 itens de um conjunto de 5 sem repetição, então o resultado da combinação (e da permutação) sem repetição é zero por definição, um caso diferente de erro de entrada.
Até n=1000 e r=1000, com o resultado limitado a 10^100 para manter a exibição prática; combinações com n e r grandes ao mesmo tempo (como C(1000,500), que tem 300 dígitos) já ultrapassam esse teto e voltam como estouro em vez do número completo.
C(n, r) = n! / (r! × (n−r)!)
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