Arranjo sem repetição: P(8,3)
- Entrada
- n=8, r=3
- Saída esperada
- P(8,3) = 336
336 é 6 vezes o C(8,3) = 56 da combinação equivalente, porque cada trio escolhido pode ser ordenado de 3! = 6 maneiras diferentes.
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permutações e arranjos
Permutação conta arranjos ordenados: quantas sequências diferentes dá para montar escolhendo r itens de um total de n, levando a ordem em conta. Esta página mostra a fórmula, o caso especial em que r é igual a n, e o caso com repetição permitida.
336 é 6 vezes o C(8,3) = 56 da combinação equivalente, porque cada trio escolhido pode ser ordenado de 3! = 6 maneiras diferentes.
Quando todos os n itens entram no arranjo, a permutação vira o fatorial completo de n; são 120 formas de organizar 5 livros distintos numa fileira.
Cada uma das 4 posições pode repetir qualquer um dos 10 dígitos independentemente, então o total é 10 multiplicado por si mesmo 4 vezes, bem mais que os 5.040 códigos sem dígito repetido.
Permutação é uma disposição ordenada de r elementos escolhidos de um conjunto de n; a ordem importa, então AB e BA contam como permutações diferentes. Sem repetição, a quantidade de arranjos é P(n, r) = n! / (n − r)!. Por exemplo, arranjar 3 das letras A, B, C, D dá P(4, 3) = 4 · 3 · 2 = 24 sequências ordenadas.
São o mesmo conceito com nomes diferentes: "arranjo" é o termo mais comum no ensino brasileiro para P(n,r) quando r é menor que n, e "permutação simples" costuma reservar-se ao caso r = n, mas ambos usam a mesma fórmula n!/(n-r)!.
Por convenção matemática: existe exatamente uma forma de arranjar zero itens, o arranjo vazio, então 0! = 1 mantém a fórmula P(n,n) = n!/0! consistente sem precisar de um caso especial para quando todos os itens entram no arranjo.
10! = 3.628.800, calculado como P(10,10); esse crescimento fatorial é rápido, 10 itens já passam de 3,6 milhões de ordens possíveis, e 15 itens já ultrapassam 1,3 trilhão.
Sempre que o mesmo item pode ocupar mais de uma posição, como dígitos numa senha, letras numa placa de carro ou faces num lançamento de dados repetido; nesses casos PR(n,r) = n^r é a fórmula certa, não P(n,r), porque a restrição de "sem repetir" não existe no problema original.
P(n, r) = n! / (n−r)!
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