O que a curva normal descreve
A distribuição normal é uma curva simétrica, mais alta no meio e que cai rápido para os dois lados. O manual de estatística do NIST escreve sua densidade com dois parâmetros: μ, o parâmetro de posição, que diz onde fica o centro, e σ, o parâmetro de escala, que diz quão aberta é a curva. O caso μ = 0 e σ = 1 é chamado de normal padrão. Mudar μ desloca a curva para os lados sem alterar sua forma; aumentar σ a achata e alarga, porque a mesma área total (que é sempre 1) precisa se espalhar mais.
f(x) = exp( −(x − μ)² ÷ (2σ²) ) ÷ ( σ × √(2π) )- μ
- a média, o centro da curva.
- σ
- o desvio padrão, que controla a largura.
- x
- o valor cuja altura da curva você quer.
Ver os dados
| x | σ = 1 | σ = 2 |
|---|---|---|
| -4 | 0 | 0,03 |
| -3 | 0 | 0,06 |
| -2 | 0,05 | 0,12 |
| -1 | 0,24 | 0,18 |
| 0 | 0,4 | 0,2 |
| 1 | 0,24 | 0,18 |
| 2 | 0,05 | 0,12 |
| 3 | 0 | 0,06 |
| 4 | 0 | 0,03 |
Z-score: medir tudo em desvios padrão
Para consultar uma tabela de normal padrão, qualquer valor precisa ser convertido. A página de tabela do NIST orienta exatamente isso: padronize o valor subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão, e depois procure o resultado. Esse resultado é o z-score, e ele não tem unidade: é "quantos desvios padrão acima (positivo) ou abaixo (negativo) da média".
z = (x − μ) ÷ σ| Valor x | z | Percentil (P(X ≤ x)) | Acima de x |
|---|---|---|---|
| 70 | −2 | 2,28% | 97,72% |
| 85 | −1 | 15,87% | 84,13% |
| 130 | 2 | 97,72% | 2,28% |
O verdadeiro poder do z aparece ao comparar escalas diferentes. Suponha 82 pontos numa prova com média 70 e desvio padrão 8, e 640 pontos noutra com média 500 e desvio padrão 100. Em números brutos não dá para dizer qual foi melhor. Em z: o primeiro resultado tem z = (82 − 70) ÷ 8 = 1,5 (percentil 93,32%) e o segundo, z = (640 − 500) ÷ 100 = 1,4 (percentil 91,92%). A primeira nota foi relativamente melhor, mesmo parecendo "menor".
A regra 68-95-99,7
A regra empírica é o atalho mental da normal: cerca de 68% dos valores ficam a até 1 desvio padrão da média, 95% a até 2 e 99,7% a até 3. Os valores exatos, que a calculadora devolve, são 68,27%, 95,45% e 99,73%. Aplicada à escala de média 100 e desvio padrão 15, a regra vira três faixas concretas.
| Faixa | Intervalo | Regra | Exato |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 85 a 115 | 68% | 68,27% |
| μ ± 2σ | 70 a 130 | 95% | 95,45% |
| μ ± 3σ | 55 a 145 | 99,7% | 99,73% |
Áreas, percentis e exemplos calculados
Toda pergunta de probabilidade na normal segue o mesmo caminho: padronize, escolha a região (abaixo, acima, entre ou fora) e leia a área. A inversa também existe: dado um percentil, descubra o valor. Os exemplos usam notas de prova com média 70 e desvio padrão 10, e a escala de média 100 e desvio padrão 15.
- Quem passa de 85?z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5. A área à direita de 1,5 é 6,68%. Cerca de 1 em cada 15 alunos.
- Quem passa de 60?z = (60 − 70) ÷ 10 = −1. A área à direita de −1 é 84,13%, o complemento do percentil 15,87%.
- Qual a nota de corte dos 10% melhores?Procure o z que deixa 10% à direita: 1,2816. Então x = 70 + 1,2816 × 10 = 82,82.
- Entre quais valores ficam os 95% centrais (μ = 100, σ = 15)?z = ±1,96, então de 100 − 1,96 × 15 = 70,60 a 100 + 1,96 × 15 = 129,40.
- Qual a chance de ficar entre 90 e 110 (μ = 100, σ = 15)?z vai de −0,667 a 0,667. A área entre eles é 49,50%, bem menos que os 68% de ±1σ, porque o intervalo é mais estreito que 1 desvio padrão.
Teste os seus próprios valores na ferramenta abaixo: ela desenha a área sombreada, mostra o z de cada limite e também resolve a direção inversa (do percentil para o valor).
Valor-p e valores críticos
Num teste z, o valor-p é a área nas caudas além da estatística observada. No teste bilateral, contam as duas caudas; no unilateral, só uma. Um z de 1,96 deixa 2,5% em cada cauda, daí o p bilateral de 0,05. Um z de 2,5 dá p = 0,0124; um z de 1,8 num teste unilateral à direita dá p = 0,0359. Os valores críticos abaixo são os que mais aparecem nos testes.
| Confiança | α | z bilateral | z unilateral |
|---|---|---|---|
| 90% | 0,10 | 1,645 | 1,282 |
| 95% | 0,05 | 1,960 | 1,645 |
| 99% | 0,01 | 2,576 | 2,326 |
| 99,9% | 0,001 | 3,291 | 3,090 |
Quando o desvio padrão da população é desconhecido e a amostra é pequena, a referência passa a ser a distribuição t de Student, com caudas mais pesadas. Com uma estatística de 2,1 e 9 graus de liberdade, o p bilateral é 0,0651 e o teste não rejeita a 5%. A mesma estatística lida como z daria 0,0357 e rejeitaria. Escolher a distribuição errada muda a conclusão. A calculadora de teste de hipótese ajuda a montar o teste completo.
Erros comuns
Achar que a regra 68-95-99,7 vale para qualquer dado
Ela descreve a curva normal, não os dados em geral. Confira o formato com um histograma. Em dados assimétricos, a fatia dentro de 2 desvios padrão pode ser bem diferente de 95%.
Confundir bilateral com unilateral
O z crítico de 5% é 1,96 no bilateral e 1,645 no unilateral. Usar o valor errado dobra ou divide por dois o seu nível de significância real. Decida o sentido do teste antes de olhar os dados.
Interpretar a altura da curva como probabilidade
A densidade pode passar de 1 em curvas estreitas e não é probabilidade. Probabilidade é sempre área. A chance de um valor exato é zero; só intervalos têm chance.
Usar o desvio padrão errado
O z de uma observação usa o desvio padrão dos dados. O z de uma média amostral usa o erro padrão, σ ÷ √n. Trocar um pelo outro faz o resultado parecer muito mais (ou muito menos) extremo do que é.
Tratar "z grande" como certeza
Um z de 3 deixa 0,27% nas duas caudas somadas. Raro não é impossível: em milhares de observações, esperar alguns z acima de 3 é normal. Valor-p baixo não prova que o efeito é grande nem que a hipótese é falsa.
Perguntas frequentes
O que é um z-score?
Como funciona a regra 68-95-99,7?
Qual a diferença entre z e t?
Por que 1,96 aparece tanto?
Posso usar a normal com qualquer conjunto de dados?
A distribuição normal se resume a uma média, um desvio padrão e áreas sob uma curva. O z-score converte qualquer valor em desvios padrão e permite comparar escalas distintas; a regra 68-95-99,7 dá a intuição (com os valores exatos 68,27%, 95,45% e 99,73%); e valor-p e valores críticos são apenas áreas nas caudas. O cuidado essencial é conferir se os dados são mesmo aproximadamente normais, escolher entre uma e duas caudas antes de olhar o resultado e não confundir desvio padrão com erro padrão. Com isso, as perguntas de probabilidade deixam de ser receita e viram uma conta que você consegue explicar.