Calcule probabilidades da curva normal (abaixo, acima, entre e fora de um intervalo), z-score, percentis e valor-p de z e t, com o gráfico da área sombreada, o passo a passo e a tabela Z completa.
A distribuição normal N(μ, σ²) descreve variáveis que se concentram em torno de uma média μ com dispersão σ: alturas, erros de medição, notas padronizadas, médias de amostras grandes. Para calcular uma probabilidade, a variável é padronizada com z = (x − μ) / σ, que diz quantos desvios padrão o valor está da média, e a área à esquerda de z é a função de distribuição Φ(z). Por exemplo, em uma escala de QI com μ = 100 e σ = 15, o valor 130 tem z = 2 e Φ(2) = 0,977250, ou seja, o percentil 97,7; só 2,28% das pessoas ficam acima. Esta calculadora não consulta tabela: Φ sai da função de erro complementar (erfc) com precisão próxima de 15 casas decimais, inclusive nas caudas, onde 1 − Φ perderia dígitos. O quantil (a inversa) usa o algoritmo de Acklam refinado por duas iterações de Halley, e a distribuição t de Student usa a beta incompleta regularizada, com graus de liberdade inteiros ou fracionários. Em uma variável contínua P(X = x) é sempre zero, por isso P(X < x) e P(X ≤ x) são iguais. A regra empírica diz que cerca de 68,27% dos valores ficam em μ ± 1σ, 95,45% em μ ± 2σ e 99,73% em μ ± 3σ; os 95% exatos pedem μ ± 1,96σ. Os valores críticos mais usados são 1,6449 (unilateral 5%), 1,9600 (bilateral 5%) e 2,5758 (bilateral 1%). O valor-p é a probabilidade, sob a hipótese nula, de obter uma estatística tão extrema quanto a observada ou mais: z = 1,96 dá p = 0,0500 bilateral, e t = 2 com 10 graus de liberdade dá p = 0,0734, maior que o 0,0455 de z = 2, porque a cauda da t é mais pesada. A ferramenta supõe que a variável é de fato normal; para dados reais, confira o histograma ou um teste de normalidade antes de interpretar percentis. Tudo roda no seu navegador e a URL guarda os valores para compartilhar.
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title="Calculadora de Distribuição Normal, Z-Score e Valor-p"
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Padronize o valor com z = (x − μ) / σ e leia a área acumulada Φ(z). Para P(X < x) a resposta é Φ(z); para P(X > x) é 1 − Φ(z); para P(a < X < b) é Φ(zb) − Φ(za). Com μ = 100, σ = 15 e x = 115, z = 1 e P(X < 115) = 0,8413. Na calculadora basta escolher o tipo, digitar os valores e ler o resultado com o passo a passo.
z = (115 − 100) / 15 = 1P(X < 115) = Φ(1) = 0,841345| Faixa | Intervalo | Regra | Exato |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 85 – 115 | 68% | 68,2689% |
| μ ± 2σ | 70 – 130 | 95% | 95,45% |
| μ ± 3σ | 55 – 145 | 99,7% | 99,73% |