Calculadora de Cinemática (MRU, MRUV, Queda Livre e Lançamento)

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calculadora de lançamento oblíquo alcance altura máxima

Calculadora de lançamento oblíquo: alcance, altura máxima e tempo de voo

O lançamento oblíquo é a composição de dois movimentos independentes: um uniforme na horizontal e um uniformemente variado na vertical. Dê a velocidade e o ângulo, ou quaisquer duas entre alcance, altura máxima e tempo de voo, e a calculadora desenha a trajetória e os vetores.

Como o alcance e a altura dependem do ângulo

Decomponha a velocidade inicial: vₓ = v₀·cosθ (constante) e v_y0 = v₀·senθ (que a gravidade reduz de g a cada segundo). A altura máxima é atingida quando v_y vira zero, em t = v_y0/g, com H = h₀ + v_y0²/(2g). Lançando do solo, o tempo de voo é 2·v_y0/g e o alcance é R = v₀²·sen2θ/g. Com v₀ = 20 m/s, θ = 30° e g = 10 m/s², vₓ = 17,32 m/s, v_y0 = 10 m/s, o ponto mais alto é 5 m, o voo dura 2 s e o alcance é 34,64 m.
No solo, o alcance é máximo a 45° e vale v₀²/g, que são 40 m para 20 m/s e g = 10 m/s². Ângulos complementares dão o mesmo alcance, porque sen2θ = sen(180° - 2θ): 30° e 60° chegam ambos a 34,64 m, mas o de 60° sobe mais e demora mais. Para um alcance de 30 m com 20 m/s, os ângulos são 24,3° e 65,7°. A calculadora mostra os dois e traceja a segunda trajetória.
Se o lançamento sai de uma altura h₀, o tempo de voo vira T = [v_y0 + √(v_y0² + 2·g·h₀)]/g e o ângulo de alcance máximo cai abaixo de 45°, com tg θ = v₀/√(v₀² + 2·g·h₀) e alcance máximo (v₀/g)·√(v₀² + 2·g·h₀). Com 20 m/s, h₀ = 10 m e g = 10 m/s², o melhor ângulo é 39,2° e o alcance máximo é 48,99 m. Um lançamento horizontal é o caso θ = 0: de um penhasco de 80 m a 15 m/s, a queda leva 4 s e o alcance é 60 m.
O modelo é o ideal, sem resistência do ar. Na realidade o ar encurta o alcance, torna a descida mais inclinada que a subida e puxa o melhor ângulo para menos de 45°. As fórmulas acima são as do ensino médio e dos cursos básicos de física, e valem bem para bolas pesadas e distâncias curtas.

Seis lançamentos calculados

Lançamento a 45°

Entrada: v₀ = 20 m/s, θ = 45°, g = 10 m/s²
Saída esperada: R = 40 m, H = 10 m, T ≈ 2,83 s

Alcance máximo do solo: v₀²/g.

Lançamento a 30°

Entrada: v₀ = 20 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s²
Saída esperada: R ≈ 34,64 m, H = 5 m, T = 2 s

O ângulo de 60° dá o mesmo alcance com H = 15 m.

Dois ângulos para 30 m

Entrada: v₀ = 20 m/s, R = 30 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: θ ≈ 24,3° e θ ≈ 65,7°

sen2θ = 10·30/400 = 0,75.

Velocidade necessária

Entrada: θ = 45°, R = 40 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: v₀ = 20 m/s

v₀ = √(g·R/sen2θ).

Melhor ângulo saindo de 10 m

Entrada: v₀ = 20 m/s, h₀ = 10 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: θ ≈ 39,2°, R máx ≈ 48,99 m

Abaixo de 45° por causa da altura de partida.

Lançamento horizontal do penhasco

Entrada: v₀ = 15 m/s, h₀ = 80 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: T = 4 s, R = 60 m

Chega a √(15² + 40²) ≈ 42,7 m/s.

FAQ da ferramenta completa

Qual a diferença entre MRU e MRUV?

No MRU a velocidade não muda (aceleração zero) e a posição cresce em linha reta no gráfico s×t: S = S₀ + v·t. No MRUV a aceleração é constante e diferente de zero, a velocidade muda de forma linear, v = v₀ + a·t, e o gráfico s×t é uma parábola: S = S₀ + v₀·t + a·t²/2. O MRU é o caso particular do MRUV com a = 0. Um carro a 72 km/h estáveis anda 100 m em 5 s (MRU); um que parte do repouso com a = 2 m/s² anda 25 m nos mesmos 5 s (MRUV).

Como converter km/h em m/s?

Quando usar a equação de Torricelli?

Qual g devo usar: 9,8, 10 ou 9,80665?

Quanto tempo leva uma queda livre e com que velocidade o objeto chega?

Como calcular o alcance e a altura máxima de um lançamento oblíquo?

Por que dois ângulos diferentes dão o mesmo alcance?

Por que a velocidade média não é a média das velocidades?

O que significam duas soluções ou o aviso de tempo negativo?

A calculadora considera a resistência do ar?

Perguntas frequentes

Por que 45° dá o maior alcance?

Porque o alcance é proporcional a sen2θ, que vale no máximo 1 quando 2θ = 90°. Em ângulos menores o projétil é rápido na horizontal mas cai logo; em maiores fica muito tempo no ar mas anda pouco para o lado. Isso vale no solo e sem ar.

A velocidade na chegada é igual à de lançamento?

Só se o terreno estiver na mesma altura do lançamento: então o ângulo de chegada também é igual ao de saída. Saindo de uma altura h₀, a velocidade final é √(v₀² + 2·g·h₀), maior que a inicial.

Posso usar a calculadora para saber em que instante o projétil passa por uma altura?

Sim, no campo de consulta de altura. Com 20 m/s a 30° e g = 10 m/s², a altura de 4 m é cruzada duas vezes, na subida e na descida; e 5 m é o ponto mais alto, cruzado uma só vez, em t = 1 s. Alturas acima de H não são alcançadas.

Próximos passos

Como o alcance e a altura dependem do ângulo

Decomponha a velocidade inicial: vₓ = v₀·cosθ (constante) e v_y0 = v₀·senθ (que a gravidade reduz de g a cada segundo). A altura máxima é atingida quando v_y vira zero, em t = v_y0/g, com H = h₀ + v_y0²/(2g). Lançando do solo, o tempo de voo é 2·v_y0/g e o alcance é R = v₀²·sen2θ/g. Com v₀ = 20 m/s, θ = 30° e g = 10 m/s², vₓ = 17,32 m/s, v_y0 = 10 m/s, o ponto mais alto é 5 m, o voo dura 2 s e o alcance é 34,64 m.

No solo, o alcance é máximo a 45° e vale v₀²/g, que são 40 m para 20 m/s e g = 10 m/s². Ângulos complementares dão o mesmo alcance, porque sen2θ = sen(180° - 2θ): 30° e 60° chegam ambos a 34,64 m, mas o de 60° sobe mais e demora mais. Para um alcance de 30 m com 20 m/s, os ângulos são 24,3° e 65,7°. A calculadora mostra os dois e traceja a segunda trajetória.

Se o lançamento sai de uma altura h₀, o tempo de voo vira T = [v_y0 + √(v_y0² + 2·g·h₀)]/g e o ângulo de alcance máximo cai abaixo de 45°, com tg θ = v₀/√(v₀² + 2·g·h₀) e alcance máximo (v₀/g)·√(v₀² + 2·g·h₀). Com 20 m/s, h₀ = 10 m e g = 10 m/s², o melhor ângulo é 39,2° e o alcance máximo é 48,99 m. Um lançamento horizontal é o caso θ = 0: de um penhasco de 80 m a 15 m/s, a queda leva 4 s e o alcance é 60 m.

O modelo é o ideal, sem resistência do ar. Na realidade o ar encurta o alcance, torna a descida mais inclinada que a subida e puxa o melhor ângulo para menos de 45°. As fórmulas acima são as do ensino médio e dos cursos básicos de física, e valem bem para bolas pesadas e distâncias curtas.

Seis lançamentos calculados

Lançamento a 45°

Entrada: v₀ = 20 m/s, θ = 45°, g = 10 m/s²
Saída esperada: R = 40 m, H = 10 m, T ≈ 2,83 s

Alcance máximo do solo: v₀²/g.

Lançamento a 30°

Entrada: v₀ = 20 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s²
Saída esperada: R ≈ 34,64 m, H = 5 m, T = 2 s

O ângulo de 60° dá o mesmo alcance com H = 15 m.

Dois ângulos para 30 m

Entrada: v₀ = 20 m/s, R = 30 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: θ ≈ 24,3° e θ ≈ 65,7°

sen2θ = 10·30/400 = 0,75.

Velocidade necessária

Entrada: θ = 45°, R = 40 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: v₀ = 20 m/s

v₀ = √(g·R/sen2θ).

Melhor ângulo saindo de 10 m

Entrada: v₀ = 20 m/s, h₀ = 10 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: θ ≈ 39,2°, R máx ≈ 48,99 m

Abaixo de 45° por causa da altura de partida.

Lançamento horizontal do penhasco

Entrada: v₀ = 15 m/s, h₀ = 80 m, g = 10 m/s²
Saída esperada: T = 4 s, R = 60 m

Chega a √(15² + 40²) ≈ 42,7 m/s.

FAQ da ferramenta completa

Qual a diferença entre MRU e MRUV?

Como converter km/h em m/s?

Quando usar a equação de Torricelli?

Qual g devo usar: 9,8, 10 ou 9,80665?

Quanto tempo leva uma queda livre e com que velocidade o objeto chega?

Como calcular o alcance e a altura máxima de um lançamento oblíquo?

Por que dois ângulos diferentes dão o mesmo alcance?

Por que a velocidade média não é a média das velocidades?

O que significam duas soluções ou o aviso de tempo negativo?

A calculadora considera a resistência do ar?

Perguntas frequentes

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Como o alcance e a altura dependem do ângulo

Seis lançamentos calculados

Lançamento a 45°

Lançamento a 30°

Dois ângulos para 30 m

Velocidade necessária

Melhor ângulo saindo de 10 m

Lançamento horizontal do penhasco

FAQ da ferramenta completa

Perguntas frequentes

Por que 45° dá o maior alcance?

A velocidade na chegada é igual à de lançamento?

Posso usar a calculadora para saber em que instante o projétil passa por uma altura?

Próximos passos

Dados do problema

Posições (opcional)

Resultado

Conversão de unidades (para o SI)

Passo a passo

Gráficos

Posição × tempo

Velocidade × tempo

Aceleração × tempo

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Como o alcance e a altura dependem do ângulo

Seis lançamentos calculados

Lançamento a 45°

Lançamento a 30°

Dois ângulos para 30 m

Velocidade necessária

Melhor ângulo saindo de 10 m

Lançamento horizontal do penhasco

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Perguntas frequentes

Por que 45° dá o maior alcance?

A velocidade na chegada é igual à de lançamento?

Posso usar a calculadora para saber em que instante o projétil passa por uma altura?

Próximos passos

Dados do problema

Posições (opcional)

Resultado

Conversão de unidades (para o SI)

Passo a passo

Gráficos

Posição × tempo

Velocidade × tempo

Aceleração × tempo