Calcule logaritmos naturais (ln), decimais (log₁₀) e em qualquer base.
O logaritmo responde à pergunta 'a que expoente preciso elevar a base para obter este número?'. Formalmente, log_b(x) = y significa b^y = x, então o logaritmo é a operação inversa da exponenciação. O logaritmo natural ln usa a base e ≈ 2,71828, o logaritmo comum log₁₀ usa base 10, e esta ferramenta também aceita qualquer base personalizada b, desde que b > 0 e b ≠ 1. Internamente, todos os casos são avaliados pela fórmula de mudança de base log_b(x) = ln(x) / ln(b), por isso qualquer base funciona a partir de um único ln embutido. O valor x precisa ser positivo, pois potências de uma base positiva são sempre positivas; a ferramenta ainda destaca propriedades importantes, como log_b(1) = 0 e log_b(b) = 1, e mostra o antilogaritmo para conferência.
Por definição, log_b(x) é o expoente y tal que b^y = x. As três bases mais comuns têm nome próprio: log₁₀ (comum), ln (natural, base e) e log₂ (binário). Para qualquer base, a ferramenta usa a fórmula de mudança de base log_b(x) = ln(x) / ln(b), que reduz todo cálculo a um único logaritmo natural.
As propriedades operatórias transformam multiplicações em somas e potências em produtos, o que historicamente tornou o logaritmo essencial para cálculos manuais: log(x·y) = log(x) + log(y); log(x/y) = log(x) − log(y); log(xⁿ) = n·log(x).
Exemplo 1, decimal: log₁₀(1000) = 3, porque 10³ = 1000. Pela mudança de base, isso é ln(1000) / ln(10) = 6,90776 / 2,30259 = 3.
Exemplo 2, base 2: log₂(50) = ln(50) / ln(2) = 3,91202 / 0,69315 ≈ 5,643856. Conferindo, 2^5,643856 ≈ 50.
O domínio real do logaritmo é x > 0: para x = 1 o resultado é 0, e quando 0 < x < 1 (com base > 1) o logaritmo é negativo, tendendo a −∞ conforme x se aproxima de zero. A base precisa ser positiva e diferente de 1, pois com base 1 a equação 1^y = x não teria solução única.
Escalas logarítmicas medem grandezas que variam por ordens de magnitude: pH em química, decibéis no som, a escala Richter de terremotos, a entropia da informação (base 2) e a complexidade de algoritmos como a busca binária (O(log n)).
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log_b(x) = y significa que b^y = x, ou seja, o logaritmo é simplesmente um expoente, a potência à qual a base precisa ser elevada. É a operação inversa da exponenciação. Por exemplo, log₂(8) = 3 porque 2³ = 8, e log₁₀(100) = 2 porque 10² = 100.
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