Binário, octal, decimal, hexadecimal e qualquer base de 2 a 36, com frações, passo a passo, complemento de dois e IEEE 754.
Este conversor trabalha com aritmética exata. Inteiros usam BigInt, o tipo de precisão arbitrária do JavaScript, então um número de centenas de dígitos converte sem perder nenhum, e frações são tratadas como razões entre inteiros, sem passar por float. É por isso que dá para mostrar 0.1 em binário como 0.0(0011), com o trecho que se repete entre parênteses, em vez de uma aproximação truncada. O modo Conversor aceita qualquer base de 2 a 36, sinal, prefixos 0b, 0o e 0x, separadores _ e espaço, ponto ou vírgula decimal, e mostra de uma vez binário, octal, decimal, hexadecimal, base 32 e base 36, mais uma base à sua escolha. Se houver um caractere inválido, a mensagem aponta qual é e em que posição. O modo Passo a passo mostra as divisões sucessivas, as multiplicações sucessivas para a fração e a soma de dígito vezes base elevada à posição, para qualquer par de bases. O modo Complemento de dois e bits mostra como um inteiro negativo é guardado em 8, 16, 32, 64 ou outra largura, se há overflow, e faz AND, OR, XOR, NOT e deslocamentos. O modo IEEE 754 abre um float32 ou float64 em sinal, expoente e mantissa, com o valor exato guardado e o erro de arredondamento. O modo Texto e códigos converte caracteres em ponto de código Unicode e bytes UTF-8. Tudo roda no seu navegador. Nos operandos das operações bit a bit, valores decimais ou com prefixo 0x, 0b e 0o são aceitos, e negativos viram complemento de dois na largura escolhida.
Todo sistema posicional funciona igual: o valor de um dígito é ele mesmo vezes a base elevada à posição, contando da direita para a esquerda a partir de zero. Por isso, de qualquer base para decimal, basta somar. Binário 1011 é 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 11. Hexadecimal 1F4 é 1x256 + 15x16 + 4x1 = 500, lembrando que A a F valem 10 a 15.
De decimal para outra base, divida o número pela base de destino, anote o resto e repita com o quociente até chegar a zero. Os restos, lidos de baixo para cima, são os dígitos: 13 dividido por 2 dá restos 1, 0, 1, 1, ou seja, 1101. Para a parte depois da vírgula o processo se inverte: multiplique a fração pela base, o dígito é a parte inteira do produto, e o que sobra volta a ser multiplicado. Se o resto chegar a zero, a fração termina. Se um resto se repetir, o ciclo de dígitos se repete para sempre, como em 0.1, que em binário é 0.0001100110011... A aba Passo a passo faz exatamente essas contas, com a tabela completa.
Há um atalho entre binário e as bases 4, 8, 16 e 32, que são potências de 2: cada dígito hexadecimal vale 4 bits, cada dígito octal vale 3. Para passar 11111111 para hexadecimal, separe em grupos de 4 a partir da direita (1111 1111) e troque cada grupo por um dígito: FF.
Uma fração só termina de ser escrita numa base se todos os fatores primos do denominador (já simplificada) dividirem a base. Em decimal, 1/10 termina porque 10 = 2 x 5. Em binário a base só tem o fator 2, e 1/10 tem o fator 5 no denominador, então a expansão nunca acaba: 0.1 vale 0.0001100110011..., com o bloco 0011 se repetindo, escrito aqui como 0.0(0011). O mesmo vale para 0.2, 0.3 e a maioria das frações decimais de poucas casas.
Computadores guardam números com parte fracionária em ponto flutuante binário (IEEE 754), com um número fixo de bits. Para guardar 0.1 é preciso cortar a dízima e arredondar, e o valor guardado em float64 é 0.1000000000000000055511151231257827..., um pouco maior que 0.1. A aba IEEE 754 mostra esse valor exato e o erro de arredondamento. É daí que vem o resultado 0.30000000000000004 de 0.1 + 0.2 em muitas linguagens: não é um defeito, é consequência de somar duas aproximações.
Complemento de dois é a forma como quase todo processador guarda inteiros com sinal. Com N bits, o bit mais alto tem peso negativo, de modo que o intervalo vai de -2^(N-1) a 2^(N-1) - 1: em 8 bits, de -128 a 127. Para negativar um número, inverta os bits e some 1, o que dá -1 como 11111111 em 8 bits e FFFF em 16. A vantagem é que a soma e a subtração usam o mesmo circuito, sem tratar o sinal à parte. O mesmo padrão de bits pode ser lido com ou sem sinal: 11001000 vale 200 sem sinal e -56 com sinal.
IEEE 754 define como guardar números reais em 32 bits (float32) e 64 bits (float64) com três campos: 1 bit de sinal, o expoente com viés (8 bits e viés 127 no float32, 11 bits e viés 1023 no float64) e a mantissa (23 e 52 bits). Em números normais há um 1 implícito antes da mantissa. O padrão também reserva valores especiais: zero com sinal, infinito, NaN e os subnormais, que preenchem o espaço entre zero e o menor normal. Na aba IEEE 754 você edita cada bit e acompanha o decimal.
Binário é a base natural do hardware, mas ilegível em números longos. Hexadecimal resolve isso porque 16 é 2 elevado a 4: cada dígito hex é exatamente 4 bits, e dois dígitos são um byte. Por isso aparece em cores (#FF8800), endereços de memória, hashes e dumps. Octal faz o mesmo com 3 bits por dígito e sobrevive nas permissões de arquivo do Unix, em que chmod 755 junta, em cada dígito, os bits de leitura (4), escrita (2) e execução (1). Octal ganhou força em máquinas antigas com palavras de 12, 18 ou 36 bits, múltiplos de 3. Base 36, com dígitos 0 a 9 e letras A a Z, aparece em identificadores curtos e URLs encurtadas.
Base64 e base58 parecem bases, mas não são sistemas posicionais de números. São codificações que transformam bytes em texto usando um alfabeto: base64 agrupa 3 bytes (24 bits) em 4 caracteres de 6 bits, e usa o sinal = como preenchimento. O número 1 em base 64 posicional seria o dígito 1, mas o byte 0x01 em Base64 vira AQ==. Da mesma forma, o texto Base32 do RFC 4648 usa o alfabeto A a Z e 2 a 7, enquanto a base 32 posicional desta ferramenta usa 0 a 9 e A a V. Se você precisa codificar bytes ou arquivos em texto, use um codificador de base64. Aqui, o assunto é o valor numérico.
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title="Conversor de Bases"
></iframe>Estas referências ajudam a contextualizar fórmulas, padrões, APIs e limitações usadas nesta página. Elas não substituem validação profissional quando o resultado tiver impacto jurídico, financeiro, médico ou operacional.
Multiplique cada bit pelo seu peso, que é uma potência de 2 contada da direita para a esquerda a partir de 2 elevado a 0, e some os resultados. Por exemplo, 1011 em binário é 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 11. Uma conferência rápida: 11111111 sempre vale 255, porque são oito bits ligados, 2^8 - 1. Para ver a tabela de pesos montada, use a aba Passo a passo.
Resultados
11111111377255FF7V73193Os dados ficam apenas no navegador. Nenhum número é enviado para o servidor.