Calculadora de Sistema de Equações

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escalonamento de matriz

Escalonamento de matriz com cada operação de linha visível

Escalonar uma matriz significa aplicar uma sequência de operações elementares de linha (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou somar um múltiplo de uma linha a outra) até chegar numa forma mais simples de resolver, a forma escalonada reduzida (RREF). Esta página já abre um sistema 3x3 de exemplo, grande o bastante para mostrar uma troca de linha por pivoteamento.

Por que a ordem das linhas muda durante o escalonamento

Esta calculadora usa pivoteamento parcial: em cada coluna, antes de eliminar, ela escolhe como pivô a linha com o maior valor absoluto naquela coluna entre as linhas ainda disponíveis, e troca essa linha para a posição do pivô se necessário. Isso evita dois problemas práticos: dividir por um pivô igual a zero (o que travaria o algoritmo) e dividir por um pivô muito pequeno perto de zero, que amplifica erro de arredondamento em ponto flutuante. Como esta ferramenta usa frações exatas em vez de ponto flutuante, o segundo problema não existe aqui, mas o pivoteamento continua necessário para o primeiro: sem ele, uma coluna com zero na posição natural do pivô travaria o escalonamento.
Cada linha da forma escalonada reduzida tem um pivô igual a 1, e esse pivô é o único valor diferente de zero na sua coluna, tanto acima quanto abaixo dele. Uma vez que a matriz aumentada chega nessa forma, a solução do sistema pode ser lida direto da última coluna, sem nenhum cálculo adicional, é exatamente por isso que a forma escalonada reduzida é o destino do processo, não só uma etapa intermediária.

Escalonamento de um sistema 3x3

Matriz aumentada inicial

Entrada: [1 1 1 | 6] [0 2 5 | -4] [2 5 -1 | 27]
Saída esperada: [1 0 0 | 5] [0 1 0 | 3] [0 0 1 | -2]

Depois do escalonamento completo, a solução (x=5, y=3, z=-2) aparece direto na última coluna.

Troca de linha por pivoteamento parcial

Entrada: [1 1 1 | 6] [0 2 5 | -4] [2 5 -1 | 27]
Saída esperada: L1 <-> L3

A terceira linha tem o maior valor absoluto na primeira coluna (2), então ela vira a nova primeira linha antes de eliminar as demais, evitando um pivô pequeno.

FAQ da ferramenta completa

Como devo digitar as equações?

Uma equação por linha, com o sinal de igual separando os dois lados, por exemplo "2x + 3y = 8" ou "x - y = -1". A calculadora aceita coeficiente implícito ("x" vale o mesmo que "1x"), sinal negativo, incógnita com qualquer nome, variável aparecendo dos dois lados da igualdade ("2x + 1 = x + 4") e uma variável que simplesmente não aparece numa das equações, ela entra como coeficiente zero automaticamente.

Qual a diferença entre a eliminação de Gauss e a regra de Cramer mostradas aqui?

O que significa um sistema "possível indeterminado"?

Como sei que um sistema é impossível, e não que eu digitei algo errado?

Por que a resposta aparece como fração em vez de número decimal?

Até quantas incógnitas o sistema pode ter?

O que é o aviso de sistema "mal condicionado"?

Meus dados ficam salvos em algum servidor?

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre forma escalonada e forma escalonada reduzida?

Na forma escalonada, cada pivô só precisa ser diferente de zero e as linhas de baixo ficam zeradas abaixo dele. Na forma escalonada reduzida (RREF), além disso, cada pivô é exatamente 1 e é o único valor não nulo em toda a sua coluna, inclusive nas linhas acima. Esta calculadora sempre entrega a forma reduzida, porque ela permite ler a solução direto.

Por que às vezes as linhas trocam de posição durante o escalonamento?

Por pivoteamento parcial: a linha com o maior valor absoluto naquela coluna é movida para a posição do pivô, o que evita travar o algoritmo quando o valor natural daquela posição é zero.

Próximos passos

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escalonamento de matriz

Escalonamento de matriz com cada operação de linha visível

Por que a ordem das linhas muda durante o escalonamento

Esta calculadora usa pivoteamento parcial: em cada coluna, antes de eliminar, ela escolhe como pivô a linha com o maior valor absoluto naquela coluna entre as linhas ainda disponíveis, e troca essa linha para a posição do pivô se necessário. Isso evita dois problemas práticos: dividir por um pivô igual a zero (o que travaria o algoritmo) e dividir por um pivô muito pequeno perto de zero, que amplifica erro de arredondamento em ponto flutuante. Como esta ferramenta usa frações exatas em vez de ponto flutuante, o segundo problema não existe aqui, mas o pivoteamento continua necessário para o primeiro: sem ele, uma coluna com zero na posição natural do pivô travaria o escalonamento.

Cada linha da forma escalonada reduzida tem um pivô igual a 1, e esse pivô é o único valor diferente de zero na sua coluna, tanto acima quanto abaixo dele. Uma vez que a matriz aumentada chega nessa forma, a solução do sistema pode ser lida direto da última coluna, sem nenhum cálculo adicional, é exatamente por isso que a forma escalonada reduzida é o destino do processo, não só uma etapa intermediária.

Escalonamento de um sistema 3x3

Matriz aumentada inicial

Entrada: [1 1 1 | 6] [0 2 5 | -4] [2 5 -1 | 27]
Saída esperada: [1 0 0 | 5] [0 1 0 | 3] [0 0 1 | -2]

Depois do escalonamento completo, a solução (x=5, y=3, z=-2) aparece direto na última coluna.

Troca de linha por pivoteamento parcial

Entrada: [1 1 1 | 6] [0 2 5 | -4] [2 5 -1 | 27]
Saída esperada: L1 <-> L3

A terceira linha tem o maior valor absoluto na primeira coluna (2), então ela vira a nova primeira linha antes de eliminar as demais, evitando um pivô pequeno.

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Como devo digitar as equações?

Qual a diferença entre a eliminação de Gauss e a regra de Cramer mostradas aqui?

O que significa um sistema "possível indeterminado"?

Como sei que um sistema é impossível, e não que eu digitei algo errado?

Por que a resposta aparece como fração em vez de número decimal?

Até quantas incógnitas o sistema pode ter?

O que é o aviso de sistema "mal condicionado"?

Meus dados ficam salvos em algum servidor?

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre forma escalonada e forma escalonada reduzida?

Por que às vezes as linhas trocam de posição durante o escalonamento?

Por pivoteamento parcial: a linha com o maior valor absoluto naquela coluna é movida para a posição do pivô, o que evita travar o algoritmo quando o valor natural daquela posição é zero.

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Escalonamento de um sistema 3x3

Matriz aumentada inicial

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Perguntas frequentes

Qual a diferença entre forma escalonada e forma escalonada reduzida?

Por que às vezes as linhas trocam de posição durante o escalonamento?

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Eliminação de Gauss

Regra de Cramer

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Escalonamento de matriz com cada operação de linha visível

Por que a ordem das linhas muda durante o escalonamento

Escalonamento de um sistema 3x3

Matriz aumentada inicial

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Qual a diferença entre forma escalonada e forma escalonada reduzida?

Por que às vezes as linhas trocam de posição durante o escalonamento?

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