Decimal para Fração e Fração Geratriz

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pi em fração 22/7 355/113

π em fração: 22/7, 355/113 e como achar a melhor aproximação

No modo Aproximar da ferramenta, digite um decimal longo e escolha o denominador máximo: a resposta é a fração mais próxima possível dentro do limite, com o erro e a tabela dos convergentes. Os atalhos π, √2, e e φ já vêm preenchidos.

Por que 22/7 e 355/113, e como a ferramenta chega neles

π é irracional: seu decimal (3,14159265358979...) nunca termina nem se repete, então nenhuma fração de inteiros é igual a ele. O que existe são aproximações. A fração contínua de π é [3; 7, 15, 1, 292, ...], e cortá-la em cada termo gera os convergentes 3, 22/7, 333/106, 355/113 e 103993/33102. Cada convergente é a melhor aproximação possível entre todas as frações de denominador igual ou menor que o dele. É por isso que 22/7 (erro de cerca de 0,0013) aparece nos livros e 355/113 (erro de 2,7 em 10 milhões, seis casas corretas) é a favorita dos engenheiros.
O denominador máximo muda a resposta. Até 10, a melhor fração para π é 22/7. Até 100 a melhor é 311/99, um semiconvergente (erro de 0,00018), melhor que 22/7 mesmo sem ser convergente. Até 1000 e até 10000 é 355/113, porque o próximo convergente, 103993/33102, tem denominador grande demais. A ferramenta avalia o último convergente que cabe e também o semiconvergente que sobra, e fica com o de menor erro exato.
O mesmo vale para outros números. Para e = 2,71828..., até 100 a melhor fração é 193/71 e até 1000 é 1457/536. Para a razão áurea φ = 1,61803..., os convergentes são razões de números de Fibonacci: 13/8, 144/89 e 1597/987. Para 3,14, que é um decimal finito, a resposta exata é 157/50, e com denominador até 10 a melhor aproximação é 22/7. A ferramenta mostra quando o resultado é exato e quando é apenas uma aproximação.

Exemplos conferidos

π com denominador até 10

Entrada: 3,14159265358979, máx. 10
Saída esperada: 22/7

Erro de cerca de 0,0013.

π com denominador até 100

Entrada: 3,14159265358979, máx. 100
Saída esperada: 311/99

Semiconvergente, erro de 0,00018.

π com denominador até 1000

Entrada: 3,14159265358979, máx. 1000
Saída esperada: 355/113

Erro de 2,7 em 10 milhões.

e com denominador até 100

Entrada: 2,71828182845904, máx. 100
Saída esperada: 193/71

Convergente da fração contínua de e.

φ com denominador até 100

Entrada: 1,61803398874989, máx. 100
Saída esperada: 144/89

Razão de números de Fibonacci.

Decimal finito que já é exato

Entrada: 3,14, máx. 100
Saída esperada: 157/50

314/100 simplificado por 2.

FAQ da ferramenta completa

Como transformar um decimal em fração?

Conte as casas decimais, escreva os dígitos sem a vírgula como numerador e use 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas como denominador. Depois simplifique pelo mdc. Exemplo: 0,375 tem 3 casas, vira 375/1000 e, dividindo por 125, 3/8. Se houver parte inteira, 2,5 = 25/10 = 5/2 = 2 1/2.

O que é fração geratriz?

Como achar a geratriz de uma dízima periódica simples?

E a dízima composta, com antiperíodo?

0,999... é mesmo igual a 1?

Como saber se uma fração vira decimal finito ou dízima?

Como digitar a dízima na ferramenta?

Funciona com números negativos, porcentagem e números mistos?

Por que π e √2 não têm fração geratriz?

Existe limite de tamanho?

Perguntas frequentes

22/7 é igual a π?

Não. 22/7 = 3,142857142857..., uma dízima de período 142857, e π = 3,14159265... As duas coincidem em 3,14 e divergem na terceira casa decimal. A diferença é de cerca de 0,0013.

Por que 355/113 é tão precisa?

Porque o termo seguinte da fração contínua de π é 292, um número muito grande. Termos grandes significam que o convergente anterior já é excepcionalmente próximo do valor real, e 355/113 precede justamente esse 292.

Posso usar o modo Aproximar com um decimal periódico?

Pode. A ferramenta converte a dízima na fração exata e aproxima essa fração. Se a fração já tiver denominador dentro do limite, o resultado é exato e aparece como valor exato na tabela.

Quantas casas de π eu preciso digitar?

Para denominadores até 10000, 10 casas bastam, porque o erro do decimal fica bem abaixo do erro das frações. Os atalhos já trazem 14 casas, o suficiente para qualquer limite da ferramenta.

Próximos passos

Decimal	Fração
0,25	1/4
0,(3)	1/3
1,2(5)	113/90
-0,8	-4/5

Decimal

Fração

0,25

1/4

0,(3)

1/3

1,2(5)

113/90

-0,8

-4/5

Por que 22/7 e 355/113, e como a ferramenta chega neles

π é irracional: seu decimal (3,14159265358979...) nunca termina nem se repete, então nenhuma fração de inteiros é igual a ele. O que existe são aproximações. A fração contínua de π é [3; 7, 15, 1, 292, ...], e cortá-la em cada termo gera os convergentes 3, 22/7, 333/106, 355/113 e 103993/33102. Cada convergente é a melhor aproximação possível entre todas as frações de denominador igual ou menor que o dele. É por isso que 22/7 (erro de cerca de 0,0013) aparece nos livros e 355/113 (erro de 2,7 em 10 milhões, seis casas corretas) é a favorita dos engenheiros.

O denominador máximo muda a resposta. Até 10, a melhor fração para π é 22/7. Até 100 a melhor é 311/99, um semiconvergente (erro de 0,00018), melhor que 22/7 mesmo sem ser convergente. Até 1000 e até 10000 é 355/113, porque o próximo convergente, 103993/33102, tem denominador grande demais. A ferramenta avalia o último convergente que cabe e também o semiconvergente que sobra, e fica com o de menor erro exato.

O mesmo vale para outros números. Para e = 2,71828..., até 100 a melhor fração é 193/71 e até 1000 é 1457/536. Para a razão áurea φ = 1,61803..., os convergentes são razões de números de Fibonacci: 13/8, 144/89 e 1597/987. Para 3,14, que é um decimal finito, a resposta exata é 157/50, e com denominador até 10 a melhor aproximação é 22/7. A ferramenta mostra quando o resultado é exato e quando é apenas uma aproximação.

Exemplos conferidos

π com denominador até 10

Entrada: 3,14159265358979, máx. 10
Saída esperada: 22/7

Erro de cerca de 0,0013.

π com denominador até 100

Entrada: 3,14159265358979, máx. 100
Saída esperada: 311/99

Semiconvergente, erro de 0,00018.

π com denominador até 1000

Entrada: 3,14159265358979, máx. 1000
Saída esperada: 355/113

Erro de 2,7 em 10 milhões.

e com denominador até 100

Entrada: 2,71828182845904, máx. 100
Saída esperada: 193/71

Convergente da fração contínua de e.

φ com denominador até 100

Entrada: 1,61803398874989, máx. 100
Saída esperada: 144/89

Razão de números de Fibonacci.

Decimal finito que já é exato

Entrada: 3,14, máx. 100
Saída esperada: 157/50

314/100 simplificado por 2.

FAQ da ferramenta completa

Como transformar um decimal em fração?

O que é fração geratriz?

Como achar a geratriz de uma dízima periódica simples?

E a dízima composta, com antiperíodo?

0,999... é mesmo igual a 1?

Como saber se uma fração vira decimal finito ou dízima?

Como digitar a dízima na ferramenta?

Funciona com números negativos, porcentagem e números mistos?

Por que π e √2 não têm fração geratriz?

Existe limite de tamanho?

Perguntas frequentes

22/7 é igual a π?

Não. 22/7 = 3,142857142857..., uma dízima de período 142857, e π = 3,14159265... As duas coincidem em 3,14 e divergem na terceira casa decimal. A diferença é de cerca de 0,0013.

Por que 355/113 é tão precisa?

Posso usar o modo Aproximar com um decimal periódico?

Pode. A ferramenta converte a dízima na fração exata e aproxima essa fração. Se a fração já tiver denominador dentro do limite, o resultado é exato e aparece como valor exato na tabela.

Quantas casas de π eu preciso digitar?

Para denominadores até 10000, 10 casas bastam, porque o erro do decimal fica bem abaixo do erro das frações. Os atalhos já trazem 14 casas, o suficiente para qualquer limite da ferramenta.