Decimal para Fração e Fração Geratriz

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fração para decimal dízima periódica ou finito

Fração para decimal: finito ou dízima periódica?

Use o modo Fração para decimal: digite 1/7, 5/12 ou um número misto e veja o decimal com o período entre parênteses, o tamanho do período e a divisão longa até o resto repetir. A página explica o teste que prevê o resultado sem dividir.

O teste do denominador e o tamanho do período

Primeiro simplifique a fração. Se o denominador só tiver os fatores primos 2 e 5, o decimal termina: 3/8 = 0,375 (8 = 2³), 7/20 = 0,35 e 9/25 = 0,36. Se aparecer qualquer outro fator, como 3, 7 ou 11, o decimal é uma dízima periódica. O número de casas antes do período é o maior expoente entre o 2 e o 5: 1/12 tem 12 = 2² × 3, logo duas casas antes do período e vale 0,08(3); 1/6 tem 6 = 2 × 3, uma casa, e vale 0,1(6).
O tamanho do período depende só da parte do denominador que sobra depois de tirar os fatores 2 e 5, e nunca passa desse número menos 1. Para 3 e 9 o período tem 1 algarismo (1/3 = 0,(3), 1/9 = 0,(1)); para 11 tem 2 (1/11 = 0,(09)); para 7 e 13 tem 6 (1/7 = 0,(142857), 1/13 = 0,(076923)); para 17 tem 16; para 19 tem 18; para 81 tem 9 (1/81 = 0,(012345679)); e para 97 tem 96 algarismos. Frações como 5/12 e 1/12 compartilham o mesmo período, só muda o antiperíodo.
A divisão longa mostra o porquê. A cada passo o resto é multiplicado por 10 e dividido pelo denominador. Como só existem d − 1 restos possíveis diferentes de zero, algum resto precisa se repetir em no máximo d passos, e daí em diante os dígitos se repetem. Em 1 ÷ 6 o primeiro passo deixa resto 4 e o segundo também: o resto 4 volta logo e o 6 se repete para sempre. Se o resto chegar a zero, o decimal termina. A tabela da ferramenta marca a linha em que o resto repete.

Exemplos conferidos

Denominador só com 2

Entrada: 3/8
Saída esperada: 0,375

8 = 2³: termina em 3 casas.

Período de 1 algarismo

Entrada: 1/3
Saída esperada: 0,(3)

Resto 1 volta de imediato.

Antiperíodo de 1 casa

Entrada: 1/6
Saída esperada: 0,1(6)

6 = 2 × 3.

Antiperíodo de 2 casas

Entrada: 1/12
Saída esperada: 0,08(3)

12 = 2² × 3.

Período de 6 algarismos

Entrada: 1/7
Saída esperada: 0,(142857)

6 é o máximo para o denominador 7.

Outro período de 6

Entrada: 1/13
Saída esperada: 0,(076923)

O zero inicial faz parte do período.

Com parte inteira

Entrada: 22/7
Saída esperada: 3,(142857)

22/7 = 3 + 1/7.

FAQ da ferramenta completa

Como transformar um decimal em fração?

Conte as casas decimais, escreva os dígitos sem a vírgula como numerador e use 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas como denominador. Depois simplifique pelo mdc. Exemplo: 0,375 tem 3 casas, vira 375/1000 e, dividindo por 125, 3/8. Se houver parte inteira, 2,5 = 25/10 = 5/2 = 2 1/2.

O que é fração geratriz?

Como achar a geratriz de uma dízima periódica simples?

E a dízima composta, com antiperíodo?

0,999... é mesmo igual a 1?

Como saber se uma fração vira decimal finito ou dízima?

Como digitar a dízima na ferramenta?

Funciona com números negativos, porcentagem e números mistos?

Por que π e √2 não têm fração geratriz?

Existe limite de tamanho?

Perguntas frequentes

Como saber se 5/12 dá dízima sem dividir?

Fatore o denominador: 12 = 2² × 3. Aparece o fator 3, então é dízima. Duas casas antes do período (expoente 2 do fator 2) e período de 1 algarismo (por causa do 3): 5/12 = 0,41(6).

Todo período tem o mesmo tamanho do denominador?

Não, ele é no máximo o denominador menos 1, e costuma ser bem menor. 1/9 e 1/3 têm período 1, 1/11 tem 2. O máximo só acontece com alguns primos, como 7, 17, 19 e 97.

O que a ferramenta faz com períodos enormes?

Calcula o tamanho do período pela ordem de 10 módulo o denominador e mostra até 1000 algarismos, avisando quando corta. Para denominadores gigantes onde isso passa de um limite de cálculo, o tamanho aparece como muito longo.

Como escrever o resultado: 0,1(6) ou 0,1666...?

As duas descrevem o mesmo número. Os livros brasileiros usam o período entre parênteses ou uma barra sobre o algarismo; as reticências mostram só os primeiros dígitos. Nas opções de notação você escolhe qual aparece.

Próximos passos

Decimal	Fração
0,25	1/4
0,(3)	1/3
1,2(5)	113/90
-0,8	-4/5

Decimal

Fração

0,25

1/4

0,(3)

1/3

1,2(5)

113/90

-0,8

-4/5

O teste do denominador e o tamanho do período

Primeiro simplifique a fração. Se o denominador só tiver os fatores primos 2 e 5, o decimal termina: 3/8 = 0,375 (8 = 2³), 7/20 = 0,35 e 9/25 = 0,36. Se aparecer qualquer outro fator, como 3, 7 ou 11, o decimal é uma dízima periódica. O número de casas antes do período é o maior expoente entre o 2 e o 5: 1/12 tem 12 = 2² × 3, logo duas casas antes do período e vale 0,08(3); 1/6 tem 6 = 2 × 3, uma casa, e vale 0,1(6).

O tamanho do período depende só da parte do denominador que sobra depois de tirar os fatores 2 e 5, e nunca passa desse número menos 1. Para 3 e 9 o período tem 1 algarismo (1/3 = 0,(3), 1/9 = 0,(1)); para 11 tem 2 (1/11 = 0,(09)); para 7 e 13 tem 6 (1/7 = 0,(142857), 1/13 = 0,(076923)); para 17 tem 16; para 19 tem 18; para 81 tem 9 (1/81 = 0,(012345679)); e para 97 tem 96 algarismos. Frações como 5/12 e 1/12 compartilham o mesmo período, só muda o antiperíodo.

A divisão longa mostra o porquê. A cada passo o resto é multiplicado por 10 e dividido pelo denominador. Como só existem d − 1 restos possíveis diferentes de zero, algum resto precisa se repetir em no máximo d passos, e daí em diante os dígitos se repetem. Em 1 ÷ 6 o primeiro passo deixa resto 4 e o segundo também: o resto 4 volta logo e o 6 se repete para sempre. Se o resto chegar a zero, o decimal termina. A tabela da ferramenta marca a linha em que o resto repete.

Exemplos conferidos

Denominador só com 2

Entrada: 3/8
Saída esperada: 0,375

8 = 2³: termina em 3 casas.

Período de 1 algarismo

Entrada: 1/3
Saída esperada: 0,(3)

Resto 1 volta de imediato.

Antiperíodo de 1 casa

Entrada: 1/6
Saída esperada: 0,1(6)

6 = 2 × 3.

Antiperíodo de 2 casas

Entrada: 1/12
Saída esperada: 0,08(3)

12 = 2² × 3.

Período de 6 algarismos

Entrada: 1/7
Saída esperada: 0,(142857)

6 é o máximo para o denominador 7.

Outro período de 6

Entrada: 1/13
Saída esperada: 0,(076923)

O zero inicial faz parte do período.

Com parte inteira

Entrada: 22/7
Saída esperada: 3,(142857)

22/7 = 3 + 1/7.

FAQ da ferramenta completa

Como transformar um decimal em fração?

O que é fração geratriz?

Como achar a geratriz de uma dízima periódica simples?

E a dízima composta, com antiperíodo?

0,999... é mesmo igual a 1?

Como saber se uma fração vira decimal finito ou dízima?

Como digitar a dízima na ferramenta?

Funciona com números negativos, porcentagem e números mistos?

Por que π e √2 não têm fração geratriz?

Existe limite de tamanho?

Perguntas frequentes

Como saber se 5/12 dá dízima sem dividir?

Fatore o denominador: 12 = 2² × 3. Aparece o fator 3, então é dízima. Duas casas antes do período (expoente 2 do fator 2) e período de 1 algarismo (por causa do 3): 5/12 = 0,41(6).

Todo período tem o mesmo tamanho do denominador?

Não, ele é no máximo o denominador menos 1, e costuma ser bem menor. 1/9 e 1/3 têm período 1, 1/11 tem 2. O máximo só acontece com alguns primos, como 7, 17, 19 e 97.