Decimal para Fração e Fração Geratriz

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dízima periódica em fração geratriz

Dízima periódica em fração geratriz

Digite a dízima com o período entre parênteses, como 0,1(6), ou com reticências, como 0,1666..., e a ferramenta devolve a fração irredutível com a conta completa nos dois métodos. Esta página mostra como a geratriz sai de cada tipo de dízima e onde os alunos mais erram.

Como a geratriz sai de cada tipo de dízima

Na dízima simples o período começa logo depois da vírgula. A geratriz tem o período como numerador e, como denominador, um 9 para cada algarismo do período. Assim 0,(45) vale 45/99, que dividido por 9 em cima e embaixo dá 5/11, e 0,(142857) vale 142857/999999, que é exatamente 1/7 porque 999999 é igual a 7 vezes 142857. Os denominadores possíveis são sempre divisores de 9, 99, 999 e assim por diante, por isso aparecem tanto o 3, o 9, o 11, o 27 e o 37 nessas respostas.
Na dízima composta há dígitos que não se repetem entre a vírgula e o período, o chamado antiperíodo. Em 0,41(6) o antiperíodo é 41 e o período é 6. O numerador é o número formado por antiperíodo e período menos o formado só pelo antiperíodo: 416 − 41 = 375. O denominador tem um 9 para o período e um 0 para cada algarismo do antiperíodo: 900. A fração 375/900 simplifica por 75 e fica 5/12. No método algébrico, x = 0,41666..., 1000x = 416,666... e 100x = 41,666..., e a subtração 1000x − 100x = 375 elimina a parte infinita, deixando 900x = 375.
Quando há parte inteira, ela entra no número que forma o numerador: em 2,4(54) usa-se 2454 − 24 = 2430 sobre 990, que simplifica por 90 e dá 27/11, ou 2 5/11 como número misto. Dá o mesmo resultado somar 2 com a geratriz de 0,4(54), que é 5/11: 2 + 5/11 = 27/11. Por isso não há nada extra a decorar: basta aplicar a regra ao número inteiro, sem a vírgula. O sinal negativo é tratado à parte: −0,(3) é −1/3. Dízimas de período 9, como 0,(9) ou 0,3(9), dão frações que coincidem com um decimal finito: 9/9 = 1 e 36/90 = 2/5.
O erro mais comum é confundir o que se repete. 0,16 (finito) vale 16/100 = 4/25; 0,1(6) vale 15/90 = 1/6; e 0,(16) vale 16/99. São três números diferentes, com decimais quase idênticos nas primeiras casas. Por isso a ferramenta pede o período entre parênteses e, quando você digita só reticências, procura sozinha a repetição e deixa você corrigir quantos dígitos finais formam o período. Reticências depois de poucos dígitos, como em 0,5..., não provam repetição nenhuma.

Exemplos conferidos

Dízima simples de um algarismo

Entrada: 0,(3)
Saída esperada: 1/3

3/9 dividido por 3.

Dízima simples de dois algarismos

Entrada: 0,(45)
Saída esperada: 5/11

45/99 dividido por 9.

Período de seis algarismos

Entrada: 0,(142857)
Saída esperada: 1/7

142857/999999, mdc 142857.

Dízima composta

Entrada: 0,41(6)
Saída esperada: 5/12

(416 − 41)/900 = 375/900.

Com parte inteira

Entrada: 2,4(54)
Saída esperada: 27/11

2430/990, ou 2 5/11 como misto.

Período de noves

Entrada: 0,3(9)
Saída esperada: 2/5

36/90: igual a 0,4.

FAQ da ferramenta completa

Como transformar um decimal em fração?

Conte as casas decimais, escreva os dígitos sem a vírgula como numerador e use 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas como denominador. Depois simplifique pelo mdc. Exemplo: 0,375 tem 3 casas, vira 375/1000 e, dividindo por 125, 3/8. Se houver parte inteira, 2,5 = 25/10 = 5/2 = 2 1/2.

O que é fração geratriz?

Como achar a geratriz de uma dízima periódica simples?

E a dízima composta, com antiperíodo?

0,999... é mesmo igual a 1?

Como saber se uma fração vira decimal finito ou dízima?

Como digitar a dízima na ferramenta?

Funciona com números negativos, porcentagem e números mistos?

Por que π e √2 não têm fração geratriz?

Existe limite de tamanho?

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre dízima periódica simples e composta?

Na simples o período começa logo depois da vírgula (0,454545...). Na composta existe um antiperíodo antes do período (0,41666...). A diferença muda só o denominador da geratriz: noves sozinhos na simples, noves seguidos de zeros na composta.

Como descobrir qual é o período?

Procure o menor bloco que se repete até o fim dos dígitos escritos. Em 0,1666... o bloco é o 6 e o 1 é o antiperíodo. Em 0,121212... o bloco é 12. Com pelo menos duas repetições a ferramenta detecta sozinha; com menos, escolha manualmente.

Por que o resultado às vezes sai com denominador menor que o da regra?

Porque a regra gera uma fração que ainda pode ser simplificada. 0,(6) dá 6/9, mas o mdc de 6 e 9 é 3 e a fração irredutível é 2/3. A ferramenta sempre mostra a fração bruta e depois a simplificação.

A geratriz serve para somar dízimas?

Sim, é o jeito exato. 0,(3) + 0,(6) vira 1/3 + 2/3 = 1, enquanto somar os decimais truncados dá 0,999.... Converta cada dízima em fração, some as frações e, se quiser, volte ao decimal.

Próximos passos

Decimal	Fração
0,25	1/4
0,(3)	1/3
1,2(5)	113/90
-0,8	-4/5

Decimal

Fração

0,25

1/4

0,(3)

1/3

1,2(5)

113/90

-0,8

-4/5

Como a geratriz sai de cada tipo de dízima

Na dízima simples o período começa logo depois da vírgula. A geratriz tem o período como numerador e, como denominador, um 9 para cada algarismo do período. Assim 0,(45) vale 45/99, que dividido por 9 em cima e embaixo dá 5/11, e 0,(142857) vale 142857/999999, que é exatamente 1/7 porque 999999 é igual a 7 vezes 142857. Os denominadores possíveis são sempre divisores de 9, 99, 999 e assim por diante, por isso aparecem tanto o 3, o 9, o 11, o 27 e o 37 nessas respostas.

Na dízima composta há dígitos que não se repetem entre a vírgula e o período, o chamado antiperíodo. Em 0,41(6) o antiperíodo é 41 e o período é 6. O numerador é o número formado por antiperíodo e período menos o formado só pelo antiperíodo: 416 − 41 = 375. O denominador tem um 9 para o período e um 0 para cada algarismo do antiperíodo: 900. A fração 375/900 simplifica por 75 e fica 5/12. No método algébrico, x = 0,41666..., 1000x = 416,666... e 100x = 41,666..., e a subtração 1000x − 100x = 375 elimina a parte infinita, deixando 900x = 375.

Quando há parte inteira, ela entra no número que forma o numerador: em 2,4(54) usa-se 2454 − 24 = 2430 sobre 990, que simplifica por 90 e dá 27/11, ou 2 5/11 como número misto. Dá o mesmo resultado somar 2 com a geratriz de 0,4(54), que é 5/11: 2 + 5/11 = 27/11. Por isso não há nada extra a decorar: basta aplicar a regra ao número inteiro, sem a vírgula. O sinal negativo é tratado à parte: −0,(3) é −1/3. Dízimas de período 9, como 0,(9) ou 0,3(9), dão frações que coincidem com um decimal finito: 9/9 = 1 e 36/90 = 2/5.

O erro mais comum é confundir o que se repete. 0,16 (finito) vale 16/100 = 4/25; 0,1(6) vale 15/90 = 1/6; e 0,(16) vale 16/99. São três números diferentes, com decimais quase idênticos nas primeiras casas. Por isso a ferramenta pede o período entre parênteses e, quando você digita só reticências, procura sozinha a repetição e deixa você corrigir quantos dígitos finais formam o período. Reticências depois de poucos dígitos, como em 0,5..., não provam repetição nenhuma.

Exemplos conferidos

Dízima simples de um algarismo

Entrada: 0,(3)
Saída esperada: 1/3

3/9 dividido por 3.

Dízima simples de dois algarismos

Entrada: 0,(45)
Saída esperada: 5/11

45/99 dividido por 9.

Período de seis algarismos

Entrada: 0,(142857)
Saída esperada: 1/7

142857/999999, mdc 142857.

Dízima composta

Entrada: 0,41(6)
Saída esperada: 5/12

(416 − 41)/900 = 375/900.

Com parte inteira

Entrada: 2,4(54)
Saída esperada: 27/11

2430/990, ou 2 5/11 como misto.

Período de noves

Entrada: 0,3(9)
Saída esperada: 2/5

36/90: igual a 0,4.

FAQ da ferramenta completa

Como transformar um decimal em fração?

O que é fração geratriz?

Como achar a geratriz de uma dízima periódica simples?

E a dízima composta, com antiperíodo?

0,999... é mesmo igual a 1?

Como saber se uma fração vira decimal finito ou dízima?

Como digitar a dízima na ferramenta?

Funciona com números negativos, porcentagem e números mistos?

Por que π e √2 não têm fração geratriz?

Existe limite de tamanho?

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre dízima periódica simples e composta?

Como descobrir qual é o período?

Por que o resultado às vezes sai com denominador menor que o da regra?

A geratriz serve para somar dízimas?

Sim, é o jeito exato. 0,(3) + 0,(6) vira 1/3 + 2/3 = 1, enquanto somar os decimais truncados dá 0,999.... Converta cada dízima em fração, some as frações e, se quiser, volte ao decimal.