Calculadora de Geometria Analítica

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equação da circunferência calculadora

Equação da circunferência: reduzida, geral, centro e raio

Na aba Circunferência, escolha como defini-la: centro e raio, extremos do diâmetro, três pontos ou a equação. A calculadora mostra a reduzida e a geral, o centro, o raio, o comprimento, a área e o desenho.

Completar quadrados: da equação geral à reduzida

A circunferência de centro C(a, b) e raio r tem equação reduzida (x - a)² + (y - b)² = r², que vem da definição: todo ponto está a distância r do centro. Desenvolvendo os quadrados sai a equação geral x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0, que a calculadora também escreve. Para centro (2, 3) e raio 5 a reduzida é (x - 2)² + (y - 3)² = 25 e a geral é x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0, pois 4 + 9 - 25 = -12. Na geral, os coeficientes de x² e de y² são iguais e não há termo em xy; sem isso a curva não é uma circunferência (pode ser uma elipse, por exemplo).
Para voltar da geral para a reduzida, agrupe os termos de x e de y e some a cada grupo o quadrado da metade do coeficiente, nos dois lados. Em x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 fica (x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9, isto é, (x - 2)² + (y + 3)² = 25. O centro é (2, -3), com os sinais invertidos em relação aos parênteses, e o raio é √25 = 5. Se o lado direito sair zero, a equação descreve só o ponto central; se sair negativo, não existe circunferência real, e a calculadora indica qual caso ocorreu em vez de mostrar uma raiz de número negativo.
Há outras formas de definir a circunferência. Pelos extremos de um diâmetro, o centro é o ponto médio e r = AB/2: A(1, 2) e B(5, 4) dão centro (3, 3) e r² = 5, de modo que r = √5. Por três pontos não alinhados, resolvem-se as mediatrizes de dois pares: (0, 0), (4, 0) e (0, 2) dão centro (2, 1) e (x - 2)² + (y - 1)² = 5. A área do círculo é πr² e o comprimento é 2πr, escritos de forma exata, como 25π e 10π. Com um ponto P informado, compara-se o quadrado da distância ao centro com r²: menor é interno, igual é sobre a curva, maior é externo.

Exemplos conferidos

Centro e raio

Entrada: C(2, 3), r = 5
Saída esperada: (x - 2)² + (y - 3)² = 25; x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

Comprimento 10π, área 25π.

Geral para reduzida

Entrada: x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0
Saída esperada: (x - 2)² + (y + 3)² = 25; C(2, -3), r = 5

Somou-se 4 + 9 aos dois lados.

Outro centro negativo

Entrada: x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0
Saída esperada: (x + 1)² + (y - 2)² = 9; C(-1, 2), r = 3

4 + 1 + 4 = 9.

Pelo diâmetro

Entrada: A(1, 2), B(5, 4)
Saída esperada: (x - 3)² + (y - 3)² = 5; r = √5

Comprimento 2π√5.

Por três pontos

Entrada: (0, 0), (4, 0), (0, 2)
Saída esperada: (x - 2)² + (y - 1)² = 5

Centro (2, 1).

Sem circunferência real

Entrada: x² + y² - 6x - 8y + 30 = 0
Saída esperada: r² = -5

Raio ao quadrado negativo.

FAQ da ferramenta completa

Como calcular a distância entre dois pontos?

Use d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), que é o teorema de Pitágoras aplicado à diferença das coordenadas. Entre A(1, 2) e B(5, 4): d = √(4² + 2²) = √20 = 2√5 ≈ 4,4721. A calculadora simplifica o radical tirando os quadrados perfeitos de dentro da raiz (20 = 4 · 5) e mostra o decimal ao lado.

Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Qual a diferença entre equação geral, reduzida, segmentária e paramétrica?

Como calcular o coeficiente angular e o ângulo de inclinação?

Como saber se duas retas são paralelas ou perpendiculares?

Como achar a interseção de duas retas?

Como calcular a distância de um ponto a uma reta?

Como verificar se três pontos estão alinhados e calcular a área do triângulo?

Como obter a equação da circunferência e voltar da geral para a reduzida?

Os resultados são exatos? Quais são os limites?

Perguntas frequentes

Como achar o centro e o raio a partir da equação geral?

Em x² + y² + Dx + Ey + F = 0, o centro é (-D/2, -E/2) e r² = (D/2)² + (E/2)² - F. Se os coeficientes de x² e y² forem diferentes de 1 (mas iguais entre si), divida a equação por eles antes.

Como saber se uma reta é secante, tangente ou externa?

Compare a distância do centro à reta com o raio. Menor: a reta corta em dois pontos (secante). Igual: toca em um ponto (tangente). Maior: não toca. A calculadora mostra os pontos de interseção exatos, com radical, e o comprimento da corda.

A circunferência e o círculo são a mesma coisa?

Em geometria analítica, a circunferência é a curva (x - a)² + (y - b)² = r², e o círculo é a região com ≤. Por isso o comprimento é 2πr e a área é πr², e os dois resultados aparecem em cartões separados.

Posso digitar a equação com x ao quadrado como x^2?

Sim. Aceita x^2, x² e produtos como (x-2)^2. Também vale colar a equação já na forma reduzida: a calculadora a desenvolve e extrai centro e raio.

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Completar quadrados: da equação geral à reduzida

A circunferência de centro C(a, b) e raio r tem equação reduzida (x - a)² + (y - b)² = r², que vem da definição: todo ponto está a distância r do centro. Desenvolvendo os quadrados sai a equação geral x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0, que a calculadora também escreve. Para centro (2, 3) e raio 5 a reduzida é (x - 2)² + (y - 3)² = 25 e a geral é x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0, pois 4 + 9 - 25 = -12. Na geral, os coeficientes de x² e de y² são iguais e não há termo em xy; sem isso a curva não é uma circunferência (pode ser uma elipse, por exemplo).

Para voltar da geral para a reduzida, agrupe os termos de x e de y e some a cada grupo o quadrado da metade do coeficiente, nos dois lados. Em x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 fica (x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9, isto é, (x - 2)² + (y + 3)² = 25. O centro é (2, -3), com os sinais invertidos em relação aos parênteses, e o raio é √25 = 5. Se o lado direito sair zero, a equação descreve só o ponto central; se sair negativo, não existe circunferência real, e a calculadora indica qual caso ocorreu em vez de mostrar uma raiz de número negativo.

Há outras formas de definir a circunferência. Pelos extremos de um diâmetro, o centro é o ponto médio e r = AB/2: A(1, 2) e B(5, 4) dão centro (3, 3) e r² = 5, de modo que r = √5. Por três pontos não alinhados, resolvem-se as mediatrizes de dois pares: (0, 0), (4, 0) e (0, 2) dão centro (2, 1) e (x - 2)² + (y - 1)² = 5. A área do círculo é πr² e o comprimento é 2πr, escritos de forma exata, como 25π e 10π. Com um ponto P informado, compara-se o quadrado da distância ao centro com r²: menor é interno, igual é sobre a curva, maior é externo.

Exemplos conferidos

Centro e raio

Entrada: C(2, 3), r = 5
Saída esperada: (x - 2)² + (y - 3)² = 25; x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

Comprimento 10π, área 25π.

Geral para reduzida

Entrada: x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0
Saída esperada: (x - 2)² + (y + 3)² = 25; C(2, -3), r = 5

Somou-se 4 + 9 aos dois lados.

Outro centro negativo

Entrada: x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0
Saída esperada: (x + 1)² + (y - 2)² = 9; C(-1, 2), r = 3

4 + 1 + 4 = 9.

Pelo diâmetro

Entrada: A(1, 2), B(5, 4)
Saída esperada: (x - 3)² + (y - 3)² = 5; r = √5

Comprimento 2π√5.

Por três pontos

Entrada: (0, 0), (4, 0), (0, 2)
Saída esperada: (x - 2)² + (y - 1)² = 5

Centro (2, 1).

Sem circunferência real

Entrada: x² + y² - 6x - 8y + 30 = 0
Saída esperada: r² = -5

Raio ao quadrado negativo.

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Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Qual a diferença entre equação geral, reduzida, segmentária e paramétrica?

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Como saber se duas retas são paralelas ou perpendiculares?

Como achar a interseção de duas retas?

Como calcular a distância de um ponto a uma reta?

Como verificar se três pontos estão alinhados e calcular a área do triângulo?

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Os resultados são exatos? Quais são os limites?

Perguntas frequentes

Como achar o centro e o raio a partir da equação geral?

Em x² + y² + Dx + Ey + F = 0, o centro é (-D/2, -E/2) e r² = (D/2)² + (E/2)² - F. Se os coeficientes de x² e y² forem diferentes de 1 (mas iguais entre si), divida a equação por eles antes.

Como saber se uma reta é secante, tangente ou externa?

A circunferência e o círculo são a mesma coisa?

Posso digitar a equação com x ao quadrado como x^2?

Sim. Aceita x^2, x² e produtos como (x-2)^2. Também vale colar a equação já na forma reduzida: a calculadora a desenvolve e extrai centro e raio.