Calculadora de Geometria Analítica

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equação da reta que passa por dois pontos

Equação da reta que passa por dois pontos

Na aba Equação da reta, deixe a opção Dois pontos marcada e informe A e B. Os cartões trazem as quatro formas da equação, onde a reta corta cada eixo e o vetor diretor, com o gráfico da reta e dos interceptos.

Dois caminhos para a mesma reta e como passar de uma forma para outra

O caminho mais direto usa o coeficiente angular: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) e depois y - y₁ = m(x - x₁). Com A(1, 2) e B(5, 4), m = 2/4 = 1/2, então y - 2 = (1/2)(x - 1) e, isolando y, y = (1/2)x + 3/2. O segundo caminho é o determinante de x, y, 1 com os dois pontos igualado a zero, que dá (y₁ - y₂)x + (x₂ - x₁)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0 sem dividir por nada. Ele funciona mesmo quando x₁ = x₂, caso em que o primeiro caminho trava, porque m seria uma divisão por zero.
A forma geral ax + by + c = 0 é escrita aqui com coeficientes inteiros, sem fator comum e com a positivo, de modo que as respostas de duas pessoas coincidam: x - 2y + 3 = 0 em vez de 2x - 4y + 6 = 0 ou -x + 2y - 3 = 0. Da geral saem as outras formas: m = -a/b, n = -c/b na reduzida, e p = -c/a e q = -c/b na segmentária x/p + y/q = 1. A segmentária só existe quando a, b e c são todos diferentes de zero, isto é, quando a reta não passa pela origem e não é paralela a um eixo. Para o exemplo, p = -3 e q = 3/2.
Os casos especiais merecem atenção. Reta horizontal (y₁ = y₂) tem m = 0 e equação y = k. Reta vertical (x₁ = x₂) tem m indefinido, ângulo de 90° e equação x = k, sem forma reduzida. Reta pela origem tem c = 0, então não tem forma segmentária. A forma paramétrica usa A como ponto de partida e B - A como vetor diretor: para o exemplo, x = 1 + 4t e y = 2 + 2t, e t = 0 dá A enquanto t = 1 dá B. O ângulo de inclinação α = arctan(m) vale 26,5651° para m = 1/2 e fica obtuso quando m é negativo.

Exemplos conferidos

Coeficiente fracionário

Entrada: A(1, 2), B(5, 4)
Saída esperada: x - 2y + 3 = 0; y = (1/2)x + 3/2

m = 1/2, α ≈ 26,5651°.

Passa por (0, 1)

Entrada: A(0, 1), B(2, 5)
Saída esperada: 2x - y + 1 = 0; y = 2x + 1

n = 1 é onde corta o eixo y.

Reta vertical

Entrada: A(3, 1), B(3, 9)
Saída esperada: x - 3 = 0; x = 3

m indefinido, α = 90°.

Reta horizontal

Entrada: A(-1, 4), B(5, 4)
Saída esperada: y - 4 = 0; y = 4

m = 0, α = 0°.

Declive negativo

Entrada: A(2, -3), B(-2, 1)
Saída esperada: x + y + 1 = 0; y = -x - 1

m = -1, α = 135°.

Forma segmentária

Entrada: A(1, 0), B(0, 2)
Saída esperada: 2x + y - 2 = 0; x/1 + y/2 = 1

Corta os eixos em 1 e 2.

FAQ da ferramenta completa

Como calcular a distância entre dois pontos?

Use d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), que é o teorema de Pitágoras aplicado à diferença das coordenadas. Entre A(1, 2) e B(5, 4): d = √(4² + 2²) = √20 = 2√5 ≈ 4,4721. A calculadora simplifica o radical tirando os quadrados perfeitos de dentro da raiz (20 = 4 · 5) e mostra o decimal ao lado.

Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Qual a diferença entre equação geral, reduzida, segmentária e paramétrica?

Como calcular o coeficiente angular e o ângulo de inclinação?

Como saber se duas retas são paralelas ou perpendiculares?

Como achar a interseção de duas retas?

Como calcular a distância de um ponto a uma reta?

Como verificar se três pontos estão alinhados e calcular a área do triângulo?

Como obter a equação da circunferência e voltar da geral para a reduzida?

Os resultados são exatos? Quais são os limites?

Perguntas frequentes

Qual forma da equação da reta devo usar na prova?

Use a que o enunciado pedir. Se não disser, a geral (ax + by + c = 0) é a mais segura, porque existe para qualquer reta, inclusive a vertical. A reduzida é boa para ler m e n e para desenhar.

Por que minha equação difere da do gabarito?

Multiplicar a equação inteira por uma constante não nula descreve a mesma reta. 2x - 4y + 6 = 0 e x - 2y + 3 = 0 são iguais. Compare os coeficientes dividindo tudo pelo maior divisor comum, ou confira se os dois pontos satisfazem a sua equação.

Como descubro se um terceiro ponto está sobre a reta?

Substitua as coordenadas na forma geral: se ax + by + c der zero, o ponto está na reta. Outra opção é digitar os três pontos na aba Triângulo e ver se o determinante é zero.

Próximos passos

Dois caminhos para a mesma reta e como passar de uma forma para outra

O caminho mais direto usa o coeficiente angular: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) e depois y - y₁ = m(x - x₁). Com A(1, 2) e B(5, 4), m = 2/4 = 1/2, então y - 2 = (1/2)(x - 1) e, isolando y, y = (1/2)x + 3/2. O segundo caminho é o determinante de x, y, 1 com os dois pontos igualado a zero, que dá (y₁ - y₂)x + (x₂ - x₁)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0 sem dividir por nada. Ele funciona mesmo quando x₁ = x₂, caso em que o primeiro caminho trava, porque m seria uma divisão por zero.

A forma geral ax + by + c = 0 é escrita aqui com coeficientes inteiros, sem fator comum e com a positivo, de modo que as respostas de duas pessoas coincidam: x - 2y + 3 = 0 em vez de 2x - 4y + 6 = 0 ou -x + 2y - 3 = 0. Da geral saem as outras formas: m = -a/b, n = -c/b na reduzida, e p = -c/a e q = -c/b na segmentária x/p + y/q = 1. A segmentária só existe quando a, b e c são todos diferentes de zero, isto é, quando a reta não passa pela origem e não é paralela a um eixo. Para o exemplo, p = -3 e q = 3/2.

Os casos especiais merecem atenção. Reta horizontal (y₁ = y₂) tem m = 0 e equação y = k. Reta vertical (x₁ = x₂) tem m indefinido, ângulo de 90° e equação x = k, sem forma reduzida. Reta pela origem tem c = 0, então não tem forma segmentária. A forma paramétrica usa A como ponto de partida e B - A como vetor diretor: para o exemplo, x = 1 + 4t e y = 2 + 2t, e t = 0 dá A enquanto t = 1 dá B. O ângulo de inclinação α = arctan(m) vale 26,5651° para m = 1/2 e fica obtuso quando m é negativo.

Exemplos conferidos

Coeficiente fracionário

Entrada: A(1, 2), B(5, 4)
Saída esperada: x - 2y + 3 = 0; y = (1/2)x + 3/2

m = 1/2, α ≈ 26,5651°.

Passa por (0, 1)

Entrada: A(0, 1), B(2, 5)
Saída esperada: 2x - y + 1 = 0; y = 2x + 1

n = 1 é onde corta o eixo y.

Reta vertical

Entrada: A(3, 1), B(3, 9)
Saída esperada: x - 3 = 0; x = 3

m indefinido, α = 90°.

Reta horizontal

Entrada: A(-1, 4), B(5, 4)
Saída esperada: y - 4 = 0; y = 4

m = 0, α = 0°.

Declive negativo

Entrada: A(2, -3), B(-2, 1)
Saída esperada: x + y + 1 = 0; y = -x - 1

m = -1, α = 135°.

Forma segmentária

Entrada: A(1, 0), B(0, 2)
Saída esperada: 2x + y - 2 = 0; x/1 + y/2 = 1

Corta os eixos em 1 e 2.

FAQ da ferramenta completa

Como calcular a distância entre dois pontos?

Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Qual a diferença entre equação geral, reduzida, segmentária e paramétrica?

Como calcular o coeficiente angular e o ângulo de inclinação?

Como saber se duas retas são paralelas ou perpendiculares?

Como achar a interseção de duas retas?

Como calcular a distância de um ponto a uma reta?

Como verificar se três pontos estão alinhados e calcular a área do triângulo?

Como obter a equação da circunferência e voltar da geral para a reduzida?

Os resultados são exatos? Quais são os limites?

Perguntas frequentes

Qual forma da equação da reta devo usar na prova?

Use a que o enunciado pedir. Se não disser, a geral (ax + by + c = 0) é a mais segura, porque existe para qualquer reta, inclusive a vertical. A reduzida é boa para ler m e n e para desenhar.

Por que minha equação difere da do gabarito?

Como descubro se um terceiro ponto está sobre a reta?

Substitua as coordenadas na forma geral: se ax + by + c der zero, o ponto está na reta. Outra opção é digitar os três pontos na aba Triângulo e ver se o determinante é zero.