Question 1

Como calcular a distância entre dois pontos?

Accepted Answer

Use d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), que é o teorema de Pitágoras aplicado à diferença das coordenadas. Entre A(1, 2) e B(5, 4): d = √(4² + 2²) = √20 = 2√5 ≈ 4,4721. A calculadora simplifica o radical tirando os quadrados perfeitos de dentro da raiz (20 = 4 · 5) e mostra o decimal ao lado.

Question 2

Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Accepted Answer

Calcule o coeficiente angular m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) e use y - y₁ = m(x - x₁), ou resolva o determinante de x, y, 1 com os dois pontos. Para A(1, 2) e B(5, 4): m = 1/2, a forma reduzida é y = (1/2)x + 3/2 e a geral é x - 2y + 3 = 0. Se x₁ = x₂ a reta é vertical e a equação é x = k.

Question 3

Qual a diferença entre equação geral, reduzida, segmentária e paramétrica?

Accepted Answer

A geral (ax + by + c = 0) serve para qualquer reta, inclusive vertical. A reduzida (y = mx + n) mostra o coeficiente angular m e o linear n, mas não existe para reta vertical. A segmentária (x/p + y/q = 1) mostra onde a reta corta os eixos e não existe se ela passa pela origem ou é paralela a um eixo. A paramétrica (x = x₀ + t·dₓ, y = y₀ + t·d_y) descreve os pontos por um ponto e um vetor diretor.

Question 4

Como calcular o coeficiente angular e o ângulo de inclinação?

Accepted Answer

O coeficiente angular é m = Δy/Δx = tan α, e α fica no intervalo de 0° a 180°. Com m positivo o ângulo é agudo, com m negativo é obtuso, e na reta vertical m não existe e α vale 90°. Para m = 1/2, α = arctan(1/2) ≈ 26,5651°, ou 26°33′54″. A inclinação em porcentagem, usada em rampas e estradas, é 100 · m, aqui 50%.

Question 5

Como saber se duas retas são paralelas ou perpendiculares?

Accepted Answer

Paralelas têm o mesmo coeficiente angular, o que na forma geral significa a₁b₂ = a₂b₁. Perpendiculares têm m₁ · m₂ = -1, ou a₁a₂ + b₁b₂ = 0, que vale também quando uma é vertical e a outra horizontal. Exemplo: y = 2x + 1 e x + 2y = 12 têm m = 2 e m = -1/2, portanto são perpendiculares. A aba Duas retas diz a posição relativa e o ângulo agudo entre elas.

Question 6

Como achar a interseção de duas retas?

Accepted Answer

Resolva o sistema formado pelas duas equações. Na forma ax + by + c = 0, com D = a₁b₂ - a₂b₁, vale x = (b₁c₂ - b₂c₁)/D e y = (a₂c₁ - a₁c₂)/D. Para y = 2x + 1 e x + 2y = 12 o ponto é (2, 5). Se D = 0 as retas não se cruzam em um único ponto: ou são paralelas distintas ou são coincidentes, e a calculadora diz qual dos dois casos é.

Question 7

Como calcular a distância de um ponto a uma reta?

Accepted Answer

Com a reta na forma geral, d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Para P(4, 5) e a reta 2x - y + 1 = 0: d = |8 - 5 + 1| / √5 = 4/√5 = 4√5/5 ≈ 1,7889. A mesma fórmula, aplicada a um ponto de uma das retas, dá a distância entre duas retas paralelas. A aba Ponto e reta também mostra o pé da perpendicular e o ponto simétrico.

Question 8

Como verificar se três pontos estão alinhados e calcular a área do triângulo?

Accepted Answer

Calcule D = x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂), que é o determinante de x, y, 1. Se D = 0 os pontos estão alinhados. Caso contrário, a área do triângulo é |D|/2. Para (1, 2), (5, 4) e (2, 6): D = 14 e a área é 7. A aba Triângulo mostra também lados, perímetro, baricentro e a classificação por lados e ângulos.

Question 9

Como obter a equação da circunferência e voltar da geral para a reduzida?

Accepted Answer

A reduzida é (x - a)² + (y - b)² = r², com centro (a, b) e raio r. Desenvolvendo, sai a geral x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0. Para voltar, complete quadrados: x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 vira (x - 2)² + (y + 3)² = 25, centro (2, -3) e raio 5. Se o lado direito der zero ou negativo, não há circunferência real.

Question 10

Os resultados são exatos? Quais são os limites?

Accepted Answer

Sim, quando as entradas são números ou frações: tudo é calculado em aritmética racional exata e os radicais são simplificados, com o decimal arredondado em 4 casas ao lado. As exceções são o coeficiente angular obtido de um ângulo que não seja 0°, 45°, 90° ou 135°, marcado como aproximado, e o gráfico, que é só ilustração. Cada número aceita até 18 dígitos, as equações vão até o grau 2 (retas e circunferências) e o cálculo é no plano, não no espaço.

Calculadora de Geometria Analítica