Cauda que converge
- Entrada
- ∫ de 1 a inf de 1/x^2 dx
- Saída esperada
- 1 (converge)
p = 2 > 1.
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integral imprópria
Digite inf ou -inf num dos limites, ou escolha um intervalo em que a função explode. A calculadora localiza as singularidades, sonda o limite da antiderivada em cada ponto problemático e responde converge ou diverge, com o valor quando existe.
p = 2 > 1.
F = −e⁻ˣ.
F = arctan x, de −π/2 a π/2.
x·ln x − x tende a 0 em 0.
Singularidade em x = 0.
A integral indefinida de f é a família de funções F cuja derivada é f. Como a derivada de uma constante é zero, se F é uma primitiva então F + C também é, para qualquer número C. Por isso ∫ 2x dx = x² + C: x² + 1 e x² − 7 também têm derivada 2x. A constante só pode ser fixada se houver uma condição extra, como F(0) = 3.
Sonda a antiderivada perto do ponto problemático em escalas decrescentes. Se os valores se estabilizam, o limite existe; se crescem ou oscilam, não. Uma quadratura numérica independente serve de segunda opinião.
Não. Em ∫ de −1 a 1 de 1/x dx, o valor principal seria 0 por simetria, mas a integral imprópria no sentido usual diverge, e é isso que a ferramenta informa.
Sim: -inf e inf. A integral é dividida e cada metade precisa convergir. Por isso ∫ de −∞ a ∞ de x dx diverge, mesmo parecendo valer 0 por simetria.
Derivando o resultado
F′(x) = f(x) em 14 pontos de teste (erro máximo 2.2e-16). As duas expressões também são idênticas depois de expandidas.
| x | f(x) | F′(x) | Diferença |
|---|---|---|---|
| -2,26376 | -0,23533751 | -0,23533751 | 2.8e-17 |
| 0,565523 | 0,99552794 | 0,99552794 | 1.1e-16 |
| 4,44149 | 377,08727 | 377,08727 | 5.7e-14 |
| -0,222645 | -0,17820488 | -0,17820488 | 0 |
| -0,357476 | -0,25003303 | -0,25003303 | 0 |
| 0,460526 | 0,72989202 | 0,72989202 | 2.2e-16 |
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