Question 1

O que é a integral indefinida e por que existe a constante C?

Accepted Answer

A integral indefinida de f é a família de funções F cuja derivada é f. Como a derivada de uma constante é zero, se F é uma primitiva então F + C também é, para qualquer número C. Por isso ∫ 2x dx = x² + C: x² + 1 e x² − 7 também têm derivada 2x. A constante só pode ser fixada se houver uma condição extra, como F(0) = 3.

Question 2

Como a calculadora confere que a resposta está certa?

Accepted Answer

Ela deriva a antiderivada encontrada com o derivador da ferramenta de derivadas e compara o resultado com o integrando em até 14 pontos de teste fixos, aceitando diferença relativa de no máximo 1e-7. A tabela da conferência mostra x, f(x), F′(x) e a diferença. Quando as duas expressões são idênticas depois de expandidas, isso também é indicado. Uma resposta que não passa na conferência não é exibida como resultado.

Question 3

Quais técnicas de integração ela mostra no passo a passo?

Accepted Answer

Regra da potência, múltiplo constante e linearidade; exponencial e logaritmo; tabela trigonométrica; substituição u; integração por partes (com u escolhido pela ordem LIATE) e o caso cíclico de eˣ·sen x; frações parciais com divisão de polinômios, fatores repetidos e fatores quadráticos irredutíveis; potências de sen e cos; produto de senos e cossenos; tg²x; e raízes de funções quadráticas por completamento de quadrado. Substituições trigonométricas gerais e integrais múltiplas não estão incluídas.

Question 4

Como escolho u na integração por partes?

Accepted Answer

A regra prática LIATE ordena as famílias de funções: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial. Escolha como u a que aparecer primeiro nessa lista; o resto vira dv. Em x·eˣ, u = x (algébrica) e dv = eˣ dx, o que dá (x − 1)·eˣ + C. Em ln x, u = ln x e dv = dx, o que dá x·ln x − x + C. A calculadora aplica essa ordem e, se a primeira escolha não fecha, tenta a segunda.

Question 5

Como se calcula uma integral definida?

Accepted Answer

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então a integral de a até b é F(b) − F(a). A constante C se cancela. Exemplo: ∫ de 0 a π de sen x dx = [−cos x] de 0 a π = 1 + 1 = 2. A ferramenta mostra F(a), F(b) e a diferença, e confirma com uma integração numérica independente (quadratura tanh-sinh), exibindo a diferença relativa entre os dois valores.

Question 6

O que é uma integral imprópria e como saber se converge?

Accepted Answer

É uma integral com limite infinito ou com a função tendendo a infinito no intervalo. Ela converge se o limite da antiderivada existe e é finito. Os testes clássicos: ∫ de 1 a ∞ de 1/xᵖ converge se, e somente se, p > 1 (então vale 1/(p − 1)); ∫ de 0 a 1 de 1/xᵖ converge se, e somente se, p < 1. A calculadora detecta os pontos problemáticos, sonda o limite da antiderivada e responde "converge" ou "diverge"; ∫ de −1 a 1 de 1/x² dx diverge, mesmo que F(1) − F(−1) ingenuamente desse −2.

Question 7

Por que algumas integrais não têm resposta, como e^(−x²)?

Accepted Answer

Existem funções elementares cuja primitiva não é elementar; a teoria de Liouville (1835) mostra quando isso acontece, e e^(−x²) é o exemplo clássico. Nesses casos a primitiva é definida por uma função especial: ∫ e^(−x²) dx = (√π/2)·erf(x) + C, ∫ sen x / x dx = Si(x) + C, ∫ eˣ/x dx = Ei(x) + C. A calculadora escreve assim quando reconhece o padrão. Em outros casos ela diz que não achou forma fechada e, na integral definida, entrega o valor numérico (a gaussiana de −∞ a ∞ dá √π ≈ 1,7724539).

Question 8

Como digito a função? Aceita sen, tg, raiz e módulo?

Accepted Answer

Sim. Use x^2 ou x², 2x para 2·x, sqrt(x) ou √x, |x| ou abs(x), pi ou π, e para o número de Euler, exp(x) ou e^x. Funções: sen/sin, cos, tg/tan, arcsen, arctg, senh, cosh, ln, log (base 10), sec, csc e cot; "sin^2(x)" e "sin x" também funcionam. Um "dx" no final é ignorado. Vírgula decimal é aceita. Em "Opções" você pode tratar log como logaritmo natural, convenção comum em cálculo em inglês.

Question 9

Minha resposta no caderno é diferente. Quem está certo?

Accepted Answer

Provavelmente os dois, porque primitivas diferem por uma constante e podem ser escritas de várias formas: sen²x/2 e −cos²x/2 diferem em 1/2, e ln|x| + ln 2 equivale a ln|2x|. Para decidir, derive a sua resposta: se o resultado for o integrando, ela está certa. A tabela de conferência faz exatamente isso para a resposta da ferramenta; use-a como modelo para a sua. Também vale conferir trocas de identidade, como sen 2x = 2 sen x cos x.

Question 10

Quais são os limites da ferramenta? Meus dados saem do navegador?

Accepted Answer

Os dados não saem: tudo roda no navegador, e o segundo motor simbólico só é baixado se as regras não resolverem. Limites: uma variável de integração por vez (outras letras viram constantes), sem integrais duplas ou triplas, sem substituição trigonométrica geral, e funções como piso, teto, resto, fatorial, mínimo e máximo não são integradas. Denominadores que não se fatoram em polinômios de grau 1 ou 2 com coeficientes racionais (como x⁴ + 1) podem cair no motor de apoio, que às vezes não resolve.

x	f(x)	F′(x)	Diferença
-2,26376	-0,23533751	-0,23533751	2.8e-17
0,565523	0,99552794	0,99552794	1.1e-16
4,44149	377,08727	377,08727	5.7e-14
-0,222645	-0,17820488	-0,17820488	0
-0,357476	-0,25003303	-0,25003303	0
0,460526	0,72989202	0,72989202	2.2e-16

x	f(x)	F′(x)	Diferença
-2,26376	-0,23533751	-0,23533751	2.8e-17
0,565523	0,99552794	0,99552794	1.1e-16
4,44149	377,08727	377,08727	5.7e-14
-0,222645	-0,17820488	-0,17820488	0
-0,357476	-0,25003303	-0,25003303	0
0,460526	0,72989202	0,72989202	2.2e-16

Calculadora de Integrais com Passo a Passo