Função interna x²
- Entrada
- ∫ 2x·cos(x^2) dx
- Saída esperada
- sen(x²) + C
u = x², du = 2x dx.
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integral por substituição
A substituição desfaz a regra da cadeia. Quando o integrando tem a forma f(g(x))·g′(x), trocar g(x) por u transforma a integral em ∫ f(u) du. A ferramenta testa as funções internas do integrando como candidatas, confere se o x sobrante desaparece e mostra u, du e a volta.
u = x², du = 2x dx.
u = x² + 1.
u = 1 + eˣ, du = eˣ dx.
u = ln x, du = dx/x.
u = 3x + 2, du = 3 dx.
A integral indefinida de f é a família de funções F cuja derivada é f. Como a derivada de uma constante é zero, se F é uma primitiva então F + C também é, para qualquer número C. Por isso ∫ 2x dx = x² + C: x² + 1 e x² − 7 também têm derivada 2x. A constante só pode ser fixada se houver uma condição extra, como F(0) = 3.
Então talvez o método seja outro: partes para produtos como x·eˣ, frações parciais para quocientes de polinômios, ou identidades trigonométricas para potências de sen e cos. A calculadora passa por todas essas regras sozinha, na ordem em que costumam resolver mais rápido.
Sim quando o argumento pode ser negativo: ∫ du/u = ln|u| + C. A ferramenta omite o módulo quando o argumento é sempre positivo, como em ln(1 + eˣ) ou ln(x² + 1).
Não literalmente. Duas primitivas diferem por uma constante, e a mesma função pode ser escrita de formas distintas. Derive a resposta do gabarito: se der o integrando, está equivalente.
Derivando o resultado
F′(x) = f(x) em 14 pontos de teste (erro máximo 2.2e-16). As duas expressões também são idênticas depois de expandidas.
| x | f(x) | F′(x) | Diferença |
|---|---|---|---|
| -2,26376 | -0,23533751 | -0,23533751 | 2.8e-17 |
| 0,565523 | 0,99552794 | 0,99552794 | 1.1e-16 |
| 4,44149 | 377,08727 | 377,08727 | 5.7e-14 |
| -0,222645 | -0,17820488 | -0,17820488 | 0 |
| -0,357476 | -0,25003303 | -0,25003303 | 0 |
| 0,460526 | 0,72989202 | 0,72989202 | 2.2e-16 |
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