Algébrica vezes exponencial
- Entrada
- ∫ x·e^x dx
- Saída esperada
- x·eˣ − eˣ + C
u = x, dv = eˣ dx.
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integral por partes
A integração por partes aparece quando o integrando é um produto de funções de famílias diferentes, como x·eˣ, x·ln x ou x²·sen x. A calculadora escolhe u pela ordem LIATE, calcula du e v, monta u·v − ∫ v du e mostra cada rodada, inclusive quando é preciso repetir o método.
u = x, dv = eˣ dx.
u = ln x, dv = dx.
Cada rodada baixa o grau do x.
A integral original reaparece e é isolada.
u = ln x, v = x²/2.
A integral indefinida de f é a família de funções F cuja derivada é f. Como a derivada de uma constante é zero, se F é uma primitiva então F + C também é, para qualquer número C. Por isso ∫ 2x dx = x² + C: x² + 1 e x² − 7 também têm derivada 2x. A constante só pode ser fixada se houver uma condição extra, como F(0) = 3.
Quando ∫ v du fica mais difícil que a original. Nesse caso troque u e dv. Se o integrando é composto, como 2x·cos(x²), a substituição u = x² resolve em um passo e é o método certo. A calculadora tenta primeiro as regras mais curtas e só recorre a partes quando elas falham.
Usa LIATE e, se a primeira escolha de u não fecha, tenta a segunda da lista. As duas variantes só diferem na posição de logarítmica e trigonométrica inversa, que raramente aparecem juntas num mesmo produto.
O painel de conferência deriva o resultado e compara com o integrando em 14 pontos de teste. Se a diferença relativa for menor que 1e-7 em todos, o resultado é aceito; caso contrário ele é descartado.
Derivando o resultado
F′(x) = f(x) em 14 pontos de teste (erro máximo 2.2e-16). As duas expressões também são idênticas depois de expandidas.
| x | f(x) | F′(x) | Diferença |
|---|---|---|---|
| -2,26376 | -0,23533751 | -0,23533751 | 2.8e-17 |
| 0,565523 | 0,99552794 | 0,99552794 | 1.1e-16 |
| 4,44149 | 377,08727 | 377,08727 | 5.7e-14 |
| -0,222645 | -0,17820488 | -0,17820488 | 0 |
| -0,357476 | -0,25003303 | -0,25003303 | 0 |
| 0,460526 | 0,72989202 | 0,72989202 | 2.2e-16 |
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