Calculadora de Integrais com Passo a Passo

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integral por frações parciais

Integral por frações parciais passo a passo

Para integrar P(x)/Q(x), a ferramenta divide os polinômios se o grau do numerador não for menor, fatora o denominador em fatores lineares e quadráticos, monta a soma de frações simples e resolve o sistema exato dos coeficientes A, B, C, mostrando cada um deles.

As quatro situações do denominador

Com fatores lineares distintos, cada um dá uma parcela A/(x − r). Em 1/(x² − 1) = 1/((x − 1)(x + 1)), os coeficientes são A = ½ e B = −½, e a integral é ½·ln|x − 1| − ½·ln|x + 1| + C. Com um fator repetido (x − r)ᵐ, entram m parcelas, A₁/(x − r) até Aₘ/(x − r)ᵐ; as de potência maior que 1 integram para termos racionais, como −1/(2(x − 1)) em 1/((x − 1)²(x + 1)).
Um fator quadrático irredutível x² + px + q (discriminante negativo) pede um numerador linear (Bx + C)/(x² + px + q). A parte proporcional à derivada 2x + p vira logaritmo; o resto, depois de completar o quadrado, vira arco tangente. Em 1/(x² + 2x + 5), x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 e o resultado é ½·arctan((x + 1)/2) + C. Potências desse fator usam a fórmula de redução, por exemplo 1/(x² + 1)² = (x/(x² + 1) + arctan x)/2.
Se o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a divisão vem antes: x²/(x + 1) = x − 1 + 1/(x + 1), e a integral é x²/2 − x + ln|x + 1| + C. A fatoração usa o teorema das raízes racionais e casos biquadráticos como x⁴ + 5x² + 4 = (x² + 1)(x² + 4). Denominadores que não se fatoram assim, como x⁴ + 1, ficam fora das regras e passam ao motor de apoio, que pode não resolver.

Exemplos resolvidos pela ferramenta

Dois fatores lineares

Entrada: ∫ 1/(x^2-1) dx
Saída esperada: ½·ln|x − 1| − ½·ln|x + 1| + C

A = ½, B = −½.

Numerador não constante

Entrada: ∫ (3x+2)/(x^2+3x+2) dx
Saída esperada: 4·ln|x + 2| − ln|x + 1| + C

A = −1 para x + 1 e B = 4 para x + 2.

Fator repetido

Entrada: ∫ 1/((x-1)^2*(x+1)) dx
Saída esperada: ¼·ln|x + 1| − ¼·ln|x − 1| − 1/(2(x − 1)) + C

Três parcelas.

Quadrático irredutível

Entrada: ∫ 1/(x^2+2x+5) dx
Saída esperada: ½·arctan((x + 1)/2) + C

Completar o quadrado.

Com divisão prévia

Entrada: ∫ x^2/(x+1) dx
Saída esperada: x²/2 − x + ln|x + 1| + C

Quociente x − 1, resto 1.

FAQ da ferramenta completa

O que é a integral indefinida e por que existe a constante C?

A integral indefinida de f é a família de funções F cuja derivada é f. Como a derivada de uma constante é zero, se F é uma primitiva então F + C também é, para qualquer número C. Por isso ∫ 2x dx = x² + C: x² + 1 e x² − 7 também têm derivada 2x. A constante só pode ser fixada se houver uma condição extra, como F(0) = 3.

Como a calculadora confere que a resposta está certa?

Quais técnicas de integração ela mostra no passo a passo?

Como escolho u na integração por partes?

Como se calcula uma integral definida?

O que é uma integral imprópria e como saber se converge?

Por que algumas integrais não têm resposta, como e^(−x²)?

Como digito a função? Aceita sen, tg, raiz e módulo?

Minha resposta no caderno é diferente. Quem está certo?

Quais são os limites da ferramenta? Meus dados saem do navegador?

Perguntas frequentes

Como se acham os coeficientes A e B?

Multiplicam-se os dois lados pelo denominador e igualam-se os coeficientes de cada potência de x, o que dá um sistema linear. A ferramenta resolve com frações exatas, sem arredondar, e mostra os valores na linha "A = ..., B = ...".

Existe atalho para fatores lineares distintos?

Sim, o método de cobertura: cada coeficiente é o numerador calculado na raiz do fator, dividido pelos outros fatores calculados nessa mesma raiz. Em 1/((x − 1)(x + 1)), A = 1/(1 + 1) = ½ na raiz 1. Com fatores repetidos ou quadráticos o sistema é mais seguro.

Quando o resultado tem arco tangente em vez de logaritmo?

Quando o denominador tem um fator quadrático sem raízes reais. Fatores com raízes reais dão logaritmos de módulos; fatores sem raízes reais dão arco tangente, e a derivada do próprio fator dá um logaritmo sem módulo.

Próximos passos

x	f(x)	F′(x)	Diferença
-2,26376	-0,23533751	-0,23533751	2.8e-17
0,565523	0,99552794	0,99552794	1.1e-16
4,44149	377,08727	377,08727	5.7e-14
-0,222645	-0,17820488	-0,17820488	0
-0,357476	-0,25003303	-0,25003303	0
0,460526	0,72989202	0,72989202	2.2e-16

f(x)

F′(x)

Diferença

-2,26376

-0,23533751

2.8e-17

0,565523

0,99552794

1.1e-16

4,44149

377,08727

5.7e-14

-0,222645

-0,17820488

-0,357476

-0,25003303

0,460526

0,72989202

2.2e-16

As quatro situações do denominador

Com fatores lineares distintos, cada um dá uma parcela A/(x − r). Em 1/(x² − 1) = 1/((x − 1)(x + 1)), os coeficientes são A = ½ e B = −½, e a integral é ½·ln|x − 1| − ½·ln|x + 1| + C. Com um fator repetido (x − r)ᵐ, entram m parcelas, A₁/(x − r) até Aₘ/(x − r)ᵐ; as de potência maior que 1 integram para termos racionais, como −1/(2(x − 1)) em 1/((x − 1)²(x + 1)).

Um fator quadrático irredutível x² + px + q (discriminante negativo) pede um numerador linear (Bx + C)/(x² + px + q). A parte proporcional à derivada 2x + p vira logaritmo; o resto, depois de completar o quadrado, vira arco tangente. Em 1/(x² + 2x + 5), x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 e o resultado é ½·arctan((x + 1)/2) + C. Potências desse fator usam a fórmula de redução, por exemplo 1/(x² + 1)² = (x/(x² + 1) + arctan x)/2.

Se o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a divisão vem antes: x²/(x + 1) = x − 1 + 1/(x + 1), e a integral é x²/2 − x + ln|x + 1| + C. A fatoração usa o teorema das raízes racionais e casos biquadráticos como x⁴ + 5x² + 4 = (x² + 1)(x² + 4). Denominadores que não se fatoram assim, como x⁴ + 1, ficam fora das regras e passam ao motor de apoio, que pode não resolver.

Exemplos resolvidos pela ferramenta

Dois fatores lineares

Entrada: ∫ 1/(x^2-1) dx
Saída esperada: ½·ln|x − 1| − ½·ln|x + 1| + C

A = ½, B = −½.

Numerador não constante

Entrada: ∫ (3x+2)/(x^2+3x+2) dx
Saída esperada: 4·ln|x + 2| − ln|x + 1| + C

A = −1 para x + 1 e B = 4 para x + 2.

Fator repetido

Entrada: ∫ 1/((x-1)^2*(x+1)) dx
Saída esperada: ¼·ln|x + 1| − ¼·ln|x − 1| − 1/(2(x − 1)) + C

Três parcelas.

Quadrático irredutível

Entrada: ∫ 1/(x^2+2x+5) dx
Saída esperada: ½·arctan((x + 1)/2) + C

Completar o quadrado.

Com divisão prévia

Entrada: ∫ x^2/(x+1) dx
Saída esperada: x²/2 − x + ln|x + 1| + C

Quociente x − 1, resto 1.

FAQ da ferramenta completa

O que é a integral indefinida e por que existe a constante C?

Como a calculadora confere que a resposta está certa?

Quais técnicas de integração ela mostra no passo a passo?

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Como se calcula uma integral definida?

O que é uma integral imprópria e como saber se converge?

Por que algumas integrais não têm resposta, como e^(−x²)?

Como digito a função? Aceita sen, tg, raiz e módulo?

Minha resposta no caderno é diferente. Quem está certo?

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Perguntas frequentes

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Perguntas frequentes

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Como se acham os coeficientes A e B?

Existe atalho para fatores lineares distintos?

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