Polinômio vezes exponencial
- Entrada
- d/dx (x^2 * exp(x))
- Saída esperada
- 2x·exp(x) + x^2·exp(x)
u = x², v = exp(x); u' = 2x, v' = exp(x); combina como u'v + uv'.
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regra do produto derivada
A regra do produto deriva o produto de duas funções que dependem da mesma variável. O erro mais comum de quem está aprendendo é multiplicar as duas derivadas direto (u'·v'), o que está errado; a regra correta é u'·v + u·v'. Esta página já abre com x·sin(x), um exemplo clássico.
u = x², v = exp(x); u' = 2x, v' = exp(x); combina como u'v + uv'.
u'v + uv' = cos(x)·cos(x) + sin(x)·(-sin(x)), que simplifica para cos²(x) - sin²(x).
Polinômios, funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente e suas inversas), hiperbólicas, exponenciais e logarítmicas, incluindo combinações com soma, subtração, produto, quociente e composição (regra da cadeia). Fatorial, o operador de resto (%) e min/max não são elementarmente diferenciáveis e a calculadora avisa isso em vez de arriscar um resultado errado.
Porque a taxa de variação do produto de duas funções que mudam ao mesmo tempo não é o produto das taxas de variação isoladas, é a soma de como cada uma contribui para a mudança total enquanto a outra fica momentaneamente fixa, exatamente o que u'v + uv' captura e u'v' não captura.
Sim, na matemática ela se estende para qualquer número de fatores; esta calculadora aplica a regra em cada multiplicação binária da árvore da expressão, então uma expressão com três fatores multiplicados é resolvida como duas aplicações encadeadas da regra do produto.
Exemplos por regra
sin(x) + x * cos(x)
\sin\left(x\right) + x \cdot \cos\left(x\right)
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Regra do produto: a derivada de u * v é u' * v + u * v'.
Derivada da variável em relação a si mesma: o resultado é 1.
Derivada do seno (regra da cadeia): a derivada de sin(u) é cos(u) * u'.
Derivada da variável em relação a si mesma: o resultado é 1.
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