Calculadora de Números Complexos

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divisão de números complexos

Divisão de números complexos passo a passo

Na aba Operações, digite z₁, z₂ e escolha ÷. O passo a passo mostra a multiplicação pelo conjugado, o numerador, o denominador real e o resultado, e depois confere pela forma polar.

Por que o conjugado resolve a divisão

Dividir z₁ = a + bi por z₂ = c + di (com c e d não ambos zero) exige tirar o i do denominador. O truque é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z₂, c − di, porque (c + di)(c − di) = c² + d², um número real positivo. O numerador vira (ac + bd) + (bc − ad)i, e o quociente é (ac + bd)/(c² + d²) + ((bc − ad)/(c² + d²))i. Dividir por zero não existe, e a ferramenta avisa.
Na forma polar a divisão é ainda mais curta: z₁/z₂ tem módulo |z₁|/|z₂| e argumento arg z₁ − arg z₂. É por isso que o passo de conferência aparece junto da conta algébrica. Para entradas algébricas o resultado é exato: 1/(3 + 4i) = 3/25 − (4/25)i, em frações, e a aproximação decimal vem logo abaixo.
Casos úteis: dividir por um número real só divide as duas partes (o passo curto da ferramenta); dividir por i equivale a multiplicar por −i, porque 1/i = −i; e o inverso de z é o conjugado dividido pelo quadrado do módulo, 1/z = (a − bi)/(a² + b²). Em circuitos, a mesma conta dá a corrente I = V/Z a partir da tensão e da impedância complexas.

Divisões resolvidas

Divisão clássica

Entrada: (3+4i)/(1-2i)
Saída esperada: −1 + 2i

Numerador −5 + 10i, denominador 5.

Resultado imaginário puro

Entrada: (1+i)/(1-i)
Saída esperada: i

Numerador (1 + i)² = 2i; denominador 2.

Inverso de um complexo

Entrada: 1/(3+4i)
Saída esperada: 3/25 − (4/25)i

Conjugado sobre |z|² = 25.

Resultado fracionário

Entrada: (2+3i)/(4-i)
Saída esperada: 5/17 + (14/17)i

Numerador (2 + 3i)(4 + i) = 5 + 14i; denominador 17.

Divisão por um imaginário puro

Entrada: (5-2i)/(2i)
Saída esperada: −1 − (5/2)i

O conjugado de 2i é −2i, e 1/i = −i.

Divisão por um real

Entrada: (10+5i)/5
Saída esperada: 2 + i

Cada parte é dividida por 5.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir números complexos?

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para que o denominador vire um número real. Em (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), o conjugado de 1 − 2i é 1 + 2i. O numerador é (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i, e o denominador é 1² + 2² = 5. O resultado é −1 + 2i.

Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?

Como passar da forma polar para a forma algébrica?

O que é a fórmula de De Moivre e como calcular potências?

Como calcular raízes de números complexos?

Quanto vale i elevado a n, para n grande?

Como resolver uma equação do 2º grau com delta negativo?

Qual a diferença entre i e j?

Como calcular a impedância de um circuito RLC?

Quais formatos de entrada são aceitos e qual a precisão?

Perguntas frequentes

Por que se multiplica pelo conjugado?

Porque o produto de um número pelo seu conjugado é real: (c + di)(c − di) = c² + d². Assim o denominador deixa de ter i e a divisão vira uma separação em parte real e parte imaginária. Multiplicar em cima e embaixo pelo mesmo número não altera o valor da fração.

Posso dividir números dados na forma polar?

Sim. 6∠90° dividido por 3∠30° dá 2∠60°: os módulos se dividem e os ângulos se subtraem. Digite com ∠ ou com o sinal de menor, e o resultado aparece em todas as formas, com o plano de Argand.

O que acontece se o divisor for zero?

A divisão por 0 + 0i não existe. A ferramenta mostra um aviso em vez de um resultado, inclusive quando o zero aparece dentro de uma expressão, como 1/(1-1).

Próximos passos

Por que o conjugado resolve a divisão

Dividir z₁ = a + bi por z₂ = c + di (com c e d não ambos zero) exige tirar o i do denominador. O truque é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z₂, c − di, porque (c + di)(c − di) = c² + d², um número real positivo. O numerador vira (ac + bd) + (bc − ad)i, e o quociente é (ac + bd)/(c² + d²) + ((bc − ad)/(c² + d²))i. Dividir por zero não existe, e a ferramenta avisa.

Na forma polar a divisão é ainda mais curta: z₁/z₂ tem módulo |z₁|/|z₂| e argumento arg z₁ − arg z₂. É por isso que o passo de conferência aparece junto da conta algébrica. Para entradas algébricas o resultado é exato: 1/(3 + 4i) = 3/25 − (4/25)i, em frações, e a aproximação decimal vem logo abaixo.

Casos úteis: dividir por um número real só divide as duas partes (o passo curto da ferramenta); dividir por i equivale a multiplicar por −i, porque 1/i = −i; e o inverso de z é o conjugado dividido pelo quadrado do módulo, 1/z = (a − bi)/(a² + b²). Em circuitos, a mesma conta dá a corrente I = V/Z a partir da tensão e da impedância complexas.

Divisões resolvidas

Divisão clássica

Entrada: (3+4i)/(1-2i)
Saída esperada: −1 + 2i

Numerador −5 + 10i, denominador 5.

Resultado imaginário puro

Entrada: (1+i)/(1-i)
Saída esperada: i

Numerador (1 + i)² = 2i; denominador 2.

Inverso de um complexo

Entrada: 1/(3+4i)
Saída esperada: 3/25 − (4/25)i

Conjugado sobre |z|² = 25.

Resultado fracionário

Entrada: (2+3i)/(4-i)
Saída esperada: 5/17 + (14/17)i

Numerador (2 + 3i)(4 + i) = 5 + 14i; denominador 17.

Divisão por um imaginário puro

Entrada: (5-2i)/(2i)
Saída esperada: −1 − (5/2)i

O conjugado de 2i é −2i, e 1/i = −i.

Divisão por um real

Entrada: (10+5i)/5
Saída esperada: 2 + i

Cada parte é dividida por 5.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir números complexos?

Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?

Como passar da forma polar para a forma algébrica?

O que é a fórmula de De Moivre e como calcular potências?

Como calcular raízes de números complexos?

Quanto vale i elevado a n, para n grande?

Como resolver uma equação do 2º grau com delta negativo?

Qual a diferença entre i e j?

Como calcular a impedância de um circuito RLC?

Quais formatos de entrada são aceitos e qual a precisão?

Perguntas frequentes

Por que se multiplica pelo conjugado?

Posso dividir números dados na forma polar?

O que acontece se o divisor for zero?

A divisão por 0 + 0i não existe. A ferramenta mostra um aviso em vez de um resultado, inclusive quando o zero aparece dentro de uma expressão, como 1/(1-1).