Calculadora de Números Complexos

Q: Qual a diferença entre o argumento principal e os outros argumentos?

Qualquer θ + 360°·k descreve o mesmo ponto, então um número tem infinitos argumentos. O principal é o único em (−180°, 180°]. A ferramenta mostra também o equivalente entre 0° e 360° quando o principal é negativo, porque alguns livros usam esse intervalo.

Q: Como escrever o ângulo em radianos?

Use π no ângulo, como em 2∠π/3 ou 2e^(iπ/3), ou mude a opção Ângulo sem unidade para radianos. Ângulos com o símbolo de grau valem sempre em graus. A ferramenta escreve os resultados em radianos como fração de π quando o ângulo é um múltiplo simples dele.

Q: Como converter para a forma exponencial?

Use a fórmula de Euler, e^(iθ) = cos θ + i sen θ, com o módulo e o argumento em radianos: 1 + i = √2·e^(iπ/4). Com r = 1 e θ = π sai a identidade e^(iπ) = −1.

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forma polar de um número complexo

Forma polar de um número complexo: módulo e argumento

Na aba Formas, digite o número em qualquer forma e veja a forma polar r∠θ, a trigonométrica r(cos θ + i sen θ) e a exponencial r·e^(iθ), com módulo, argumento principal e a posição no plano de Argand.

Módulo, quadrante e argumento principal

O módulo é r = √(a² + b²) e o argumento θ é o ângulo do vetor (a, b) com o eixo real positivo. Como arctan(b/a) sozinho não distingue o 1º do 3º quadrante nem o 2º do 4º, o quadrante é decidido pelos sinais de a e b: no 2º, θ = 180° − θ′; no 3º, θ = θ′ − 180°; no 4º, θ = −θ′, com θ′ = arctan|b/a|. O valor principal fica em (−180°, 180°]; somando 360° a um valor negativo obtém-se o equivalente em [0°, 360°).
Alguns ângulos têm valores exatos que a ferramenta reconhece. Para 1 + i, o módulo é √2 e o argumento é 45°, ou π/4 rad: 1 + i = √2∠45° = √2·e^(iπ/4). Para −1 − i, o argumento principal é −135° e a versão positiva é 225°. Números sobre os eixos têm argumento 0°, 90°, 180° ou −90°, e o zero não tem argumento definido.
Da polar para a algébrica, a = r·cos θ e b = r·sen θ. A ferramenta aceita 5∠30°, 5<30, 5 cis 30°, 5(cos 30° + i sen 30°) e 2e^(iπ/3); sem símbolo de unidade, o ângulo segue a opção Graus ou Radianos, e qualquer ângulo com π é lido em radianos. Valores quase nulos por arredondamento, como 3e-16 em 5∠90°, são tratados como zero na exibição.

Conversões resolvidas

Argumento de 45°

Entrada: 1+i
Saída esperada: √2∠45° = √2·e^(iπ/4)

Módulo √2, argumento π/4 rad.

Terceiro quadrante

Entrada: -1-i
Saída esperada: √2∠−135°

Equivale a 225° entre 0° e 360°.

Sobre o eixo imaginário

Entrada: 2i
Saída esperada: 2∠90°

Módulo 2 e ângulo reto.

Sobre o eixo real negativo

Entrada: -3
Saída esperada: 3∠180°

O argumento principal de um real negativo é 180°.

Módulo inteiro

Entrada: 3+4i
Saída esperada: |z| = 5

θ = arctan(4/3), cerca de 53,13°.

Da polar para a algébrica

Entrada: 5∠90°
Saída esperada: 5i

a = 5·cos 90° = 0 e b = 5·sen 90° = 5.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir números complexos?

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para que o denominador vire um número real. Em (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), o conjugado de 1 − 2i é 1 + 2i. O numerador é (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i, e o denominador é 1² + 2² = 5. O resultado é −1 + 2i.

Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?

Como passar da forma polar para a forma algébrica?

O que é a fórmula de De Moivre e como calcular potências?

Como calcular raízes de números complexos?

Quanto vale i elevado a n, para n grande?

Como resolver uma equação do 2º grau com delta negativo?

Qual a diferença entre i e j?

Como calcular a impedância de um circuito RLC?

Quais formatos de entrada são aceitos e qual a precisão?

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre o argumento principal e os outros argumentos?

Qualquer θ + 360°·k descreve o mesmo ponto, então um número tem infinitos argumentos. O principal é o único em (−180°, 180°]. A ferramenta mostra também o equivalente entre 0° e 360° quando o principal é negativo, porque alguns livros usam esse intervalo.

Como escrever o ângulo em radianos?

Use π no ângulo, como em 2∠π/3 ou 2e^(iπ/3), ou mude a opção Ângulo sem unidade para radianos. Ângulos com o símbolo de grau valem sempre em graus. A ferramenta escreve os resultados em radianos como fração de π quando o ângulo é um múltiplo simples dele.

Como converter para a forma exponencial?

Use a fórmula de Euler, e^(iθ) = cos θ + i sen θ, com o módulo e o argumento em radianos: 1 + i = √2·e^(iπ/4). Com r = 1 e θ = π sai a identidade e^(iπ) = −1.

Próximos passos

Módulo, quadrante e argumento principal

O módulo é r = √(a² + b²) e o argumento θ é o ângulo do vetor (a, b) com o eixo real positivo. Como arctan(b/a) sozinho não distingue o 1º do 3º quadrante nem o 2º do 4º, o quadrante é decidido pelos sinais de a e b: no 2º, θ = 180° − θ′; no 3º, θ = θ′ − 180°; no 4º, θ = −θ′, com θ′ = arctan|b/a|. O valor principal fica em (−180°, 180°]; somando 360° a um valor negativo obtém-se o equivalente em [0°, 360°).

Alguns ângulos têm valores exatos que a ferramenta reconhece. Para 1 + i, o módulo é √2 e o argumento é 45°, ou π/4 rad: 1 + i = √2∠45° = √2·e^(iπ/4). Para −1 − i, o argumento principal é −135° e a versão positiva é 225°. Números sobre os eixos têm argumento 0°, 90°, 180° ou −90°, e o zero não tem argumento definido.

Da polar para a algébrica, a = r·cos θ e b = r·sen θ. A ferramenta aceita 5∠30°, 5<30, 5 cis 30°, 5(cos 30° + i sen 30°) e 2e^(iπ/3); sem símbolo de unidade, o ângulo segue a opção Graus ou Radianos, e qualquer ângulo com π é lido em radianos. Valores quase nulos por arredondamento, como 3e-16 em 5∠90°, são tratados como zero na exibição.

Conversões resolvidas

Argumento de 45°

Entrada: 1+i
Saída esperada: √2∠45° = √2·e^(iπ/4)

Módulo √2, argumento π/4 rad.

Terceiro quadrante

Entrada: -1-i
Saída esperada: √2∠−135°

Equivale a 225° entre 0° e 360°.

Sobre o eixo imaginário

Entrada: 2i
Saída esperada: 2∠90°

Módulo 2 e ângulo reto.

Sobre o eixo real negativo

Entrada: -3
Saída esperada: 3∠180°

O argumento principal de um real negativo é 180°.

Módulo inteiro

Entrada: 3+4i
Saída esperada: |z| = 5

θ = arctan(4/3), cerca de 53,13°.

Da polar para a algébrica

Entrada: 5∠90°
Saída esperada: 5i

a = 5·cos 90° = 0 e b = 5·sen 90° = 5.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir números complexos?

Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?

Como passar da forma polar para a forma algébrica?

O que é a fórmula de De Moivre e como calcular potências?

Como calcular raízes de números complexos?

Quanto vale i elevado a n, para n grande?

Como resolver uma equação do 2º grau com delta negativo?

Qual a diferença entre i e j?

Como calcular a impedância de um circuito RLC?

Quais formatos de entrada são aceitos e qual a precisão?

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre o argumento principal e os outros argumentos?

Como escrever o ângulo em radianos?

Como converter para a forma exponencial?

Use a fórmula de Euler, e^(iθ) = cos θ + i sen θ, com o módulo e o argumento em radianos: 1 + i = √2·e^(iπ/4). Com r = 1 e θ = π sai a identidade e^(iπ) = −1.