Calculadora de Polinômios (Divisão e Briot-Ruffini)

Divisão, Briot-Ruffini, raízes e fatoração, com os coeficientes sempre exatos.

Um polinômio P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ tem grau n quando aₙ ≠ 0. Esta ferramenta guarda cada coeficiente como fração exata (números inteiros de tamanho arbitrário), então 0,1x + 0,2 vira (1/10)x + 1/5 e nunca aparece 0,30000000000000004. A divisão de A por B, com B ≠ 0, é a divisão euclidiana A = B·Q + R, em que o resto R é zero ou tem grau menor que o de B. No método da chave, divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo de B, multiplica-se o resultado por B, subtrai-se e repete-se. Briot-Ruffini é o atalho para divisores da forma x − a: o resto é P(a) (teorema do resto) e, se for zero, x − a é fator (teorema de D'Alembert). Para um divisor ax + b, divide-se por x + b/a e depois o quociente por a. Nas raízes, a ferramenta segue o roteiro do ensino médio e vai além dele. Primeiro tira os fatores x. Depois usa o teorema das raízes racionais: se p/q é raiz de um polinômio de coeficientes inteiros, p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder. Cada raiz achada é retirada por Briot-Ruffini, o que revela a multiplicidade. Sobrando grau 2, aplica-se Bhaskara exata, com raízes irracionais como (−1 + √5)/2 e complexas como −1/2 + (√3/2)i. Sobrando grau 4 ou mais sem raiz racional, o método de Kronecker procura fatores inteiros, como em x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2). Fatores irredutíveis de grau 3 ou mais têm as raízes calculadas numericamente pelo método de Durand-Kerner, em ponto flutuante de 64 bits. O teorema fundamental da álgebra garante n raízes complexas, contadas com multiplicidade, e as relações de Girard ligam a soma e o produto das raízes aos coeficientes. Limites: grau até 60 e números de até 400 dígitos por coeficiente.

Digite os polinômios como escreveria no caderno.

1. Na aba Operações, escreva A(x) e B(x) (por exemplo 2x^3 - 3x + 1, x³ ou (x+1)(x-2)) e escolha somar, subtrair, multiplicar, dividir ou calcular o MDC. A divisão aparece no formato de chave.
2. Na aba Briot-Ruffini, informe P(x) e um divisor de grau 1 como x - 2. A tabela mostra quociente, resto e o valor P(a) do teorema do resto.
3. Na aba Raízes e fatoração, veja raízes exatas e decimais, multiplicidade, a fatoração sobre ℚ e ℂ, o teste dos candidatos racionais, as relações de Girard e o gráfico. Copie o resultado ou o link.

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Fontes e referências desta ferramenta

Estas referências ajudam a contextualizar fórmulas, padrões, APIs e limitações usadas nesta página. Elas não substituem validação profissional quando o resultado tiver impacto jurídico, financeiro, médico ou operacional.

• 5.5 Zeros of Polynomial Functions (Algebra and Trigonometry 2e)OpenStax, Teoremas do resto e do fator, raízes racionais, regra de Descartes e teorema fundamental da álgebra.
• 5.4 Dividing Polynomials (Algebra and Trigonometry 2e)OpenStax, Divisão longa de polinômios e divisão sintética (Briot-Ruffini).

Perguntas frequentes

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