Calculadora de Números Complexos

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potência e raiz de número complexo

Potências e raízes de números complexos (De Moivre)

Na aba Potências e raízes, escolha a potência zⁿ, as n raízes ou a potência de i. A fórmula de De Moivre aparece aplicada passo a passo, e as raízes são desenhadas na circunferência do plano de Argand.

De Moivre, raízes na circunferência e o ciclo de i

Pela fórmula de De Moivre, se z = r(cos θ + i sen θ), então zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ) para qualquer inteiro n, positivo ou negativo. Em (1 + i)⁸ tem-se r = √2 e θ = 45°, logo r⁸ = 16 e 8θ = 360°, que dá 16. Para entradas algébricas, a ferramenta também calcula a potência por multiplicações exatas: (1 + i)² = 2i, (3 + 4i)² = −7 + 24i e (1 − i)⁴ = −4 saem em inteiros, sem resíduos de ponto flutuante.
Todo número complexo não nulo tem exatamente n raízes n-ésimas distintas: ⁿ√r ∠ (θ + 360°·k)/n, para k de 0 a n − 1. Elas ficam sobre a circunferência de raio ⁿ√r, espaçadas de 360°/n, e formam um polígono regular. As raízes cúbicas de 8 são 2, −1 + √3 i e −1 − √3 i; as raízes quartas de 1 são 1, i, −1 e −i. A soma das n raízes é zero para n ≥ 2.
As potências de i são periódicas: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. Para um expoente n qualquer, basta o resto da divisão de n por 4, o que vale até para n com centenas de dígitos e para n negativo (i⁻¹ = −i). Por exemplo, 2027 = 4·506 + 3, então i²⁰²⁷ = i³ = −i.

Potências e raízes resolvidas

Oitava potência

Entrada: (1+i)^8
Saída esperada: 16

r⁸ = 16 e 8·45° = 360°.

Quadrado de um 3-4-5

Entrada: (3+4i)^2
Saída esperada: −7 + 24i

9 − 16 = −7 e 2·3·4 = 24.

Quarta potência

Entrada: (1-i)^4
Saída esperada: −4

(1 − i)² = −2i, e (−2i)² = −4.

Terceira potência

Entrada: (2+2i)^3
Saída esperada: −16 + 16i

(2 + 2i)² = 8i, e 8i·(2 + 2i) = 16i − 16.

Raízes quartas da unidade

Entrada: 1, n = 4
Saída esperada: 1, i, −1, −i

Ângulos 0°, 90°, 180° e 270° no círculo unitário.

Potência de i muito grande

Entrada: i^2027
Saída esperada: −i

2027 = 4·506 + 3, então vale i³.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir números complexos?

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para que o denominador vire um número real. Em (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), o conjugado de 1 − 2i é 1 + 2i. O numerador é (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i, e o denominador é 1² + 2² = 5. O resultado é −1 + 2i.

Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?

Como passar da forma polar para a forma algébrica?

O que é a fórmula de De Moivre e como calcular potências?

Como calcular raízes de números complexos?

Quanto vale i elevado a n, para n grande?

Como resolver uma equação do 2º grau com delta negativo?

Qual a diferença entre i e j?

Como calcular a impedância de um circuito RLC?

Quais formatos de entrada são aceitos e qual a precisão?

Perguntas frequentes

A fórmula de De Moivre vale para expoentes fracionários?

Para o expoente 1/n ela gera as n raízes, mas é preciso listar todas, somando 360°·k ao ângulo; com um único valor sai só a raiz principal. Por isso a ferramenta separa a potência inteira da lista de raízes.

Quantas raízes tem um número complexo?

Exatamente n raízes n-ésimas distintas, se o número for diferente de zero: 2 raízes quadradas, 3 cúbicas e assim por diante. O zero tem uma só raiz, ele mesmo. A ferramenta aceita índices de 1 a 360.

Por que a soma das raízes dá zero?

Porque elas formam um polígono regular centrado na origem e os vetores se cancelam. Algebricamente, as raízes de zⁿ = w são as de zⁿ − w, cujo coeficiente de zⁿ⁻¹ é nulo para n ≥ 2, e pelas relações de Girard a soma é igual a zero.

Próximos passos

De Moivre, raízes na circunferência e o ciclo de i

Pela fórmula de De Moivre, se z = r(cos θ + i sen θ), então zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ) para qualquer inteiro n, positivo ou negativo. Em (1 + i)⁸ tem-se r = √2 e θ = 45°, logo r⁸ = 16 e 8θ = 360°, que dá 16. Para entradas algébricas, a ferramenta também calcula a potência por multiplicações exatas: (1 + i)² = 2i, (3 + 4i)² = −7 + 24i e (1 − i)⁴ = −4 saem em inteiros, sem resíduos de ponto flutuante.

Todo número complexo não nulo tem exatamente n raízes n-ésimas distintas: ⁿ√r ∠ (θ + 360°·k)/n, para k de 0 a n − 1. Elas ficam sobre a circunferência de raio ⁿ√r, espaçadas de 360°/n, e formam um polígono regular. As raízes cúbicas de 8 são 2, −1 + √3 i e −1 − √3 i; as raízes quartas de 1 são 1, i, −1 e −i. A soma das n raízes é zero para n ≥ 2.

As potências de i são periódicas: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. Para um expoente n qualquer, basta o resto da divisão de n por 4, o que vale até para n com centenas de dígitos e para n negativo (i⁻¹ = −i). Por exemplo, 2027 = 4·506 + 3, então i²⁰²⁷ = i³ = −i.

Potências e raízes resolvidas

Oitava potência

Entrada: (1+i)^8
Saída esperada: 16

r⁸ = 16 e 8·45° = 360°.

Quadrado de um 3-4-5

Entrada: (3+4i)^2
Saída esperada: −7 + 24i

9 − 16 = −7 e 2·3·4 = 24.

Quarta potência

Entrada: (1-i)^4
Saída esperada: −4

(1 − i)² = −2i, e (−2i)² = −4.

Terceira potência

Entrada: (2+2i)^3
Saída esperada: −16 + 16i

(2 + 2i)² = 8i, e 8i·(2 + 2i) = 16i − 16.

Raízes quartas da unidade

Entrada: 1, n = 4
Saída esperada: 1, i, −1, −i

Ângulos 0°, 90°, 180° e 270° no círculo unitário.

Potência de i muito grande

Entrada: i^2027
Saída esperada: −i

2027 = 4·506 + 3, então vale i³.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir números complexos?

Como achar o módulo e o argumento de um número complexo?

Como passar da forma polar para a forma algébrica?

O que é a fórmula de De Moivre e como calcular potências?

Como calcular raízes de números complexos?

Quanto vale i elevado a n, para n grande?

Como resolver uma equação do 2º grau com delta negativo?

Qual a diferença entre i e j?

Como calcular a impedância de um circuito RLC?

Quais formatos de entrada são aceitos e qual a precisão?

Perguntas frequentes