Calculadora de Polinômios (Divisão e Briot-Ruffini)

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Fatorar polinômios: calculadora sobre os racionais e os complexos

Cole o polinômio na aba Raízes e fatoração. A fatoração sobre ℚ aparece pronta, com fatores lineares e quadráticos irredutíveis, e a fatoração sobre ℂ lista uma raiz por fator.

O que significa fatorar, e onde parar

Fatorar é escrever P(x) como produto de polinômios de grau menor. Sobre os racionais, os fatores irredutíveis têm coeficientes racionais e não se decompõem mais sem sair de ℚ. Cada raiz racional r dá um fator x − r; um par de raízes complexas conjugadas, ou um par de irracionais conjugados como ±√2, dá um fator do 2º grau que não se divide em ℚ. Em x⁴ − 1, a fatoração é (x + 1)(x − 1)(x² + 1): o último fator só se decompõe sobre ℂ, em (x − i)(x + i).
Alguns polinômios não têm raiz racional e mesmo assim se fatoram. x⁴ + 4 não se anula em nenhum racional, mas é (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2), identidade de Sophie Germain. Não dá para achar isso só testando candidatos racionais; a ferramenta usa o método de Kronecker, que testa fatores de grau 2, 3, ... construídos por interpolação nos valores inteiros do polinômio, e confirma cada achado por divisão exata. Há um orçamento de passos: se ele acabar, a ferramenta avisa que a fatoração pode estar incompleta.
O coeficiente líder aparece na frente: 2x³ − 3x² − 11x + 6 = 2(x + 2)(x − 1/2)(x − 3). Dá para absorver o 2 em um dos fatores e escrever (x + 2)(2x − 1)(x − 3). Fatores repetidos são escritos com expoente, como (x + 2)(x − 1)² para x³ − 3x + 2. Sobre ℂ, o teorema fundamental da álgebra garante que um polinômio de grau n tem exatamente n fatores lineares, contando repetições.

Fatorações conferidas

Três fatores lineares

Entrada: x^3 - 6x^2 + 11x - 6
Saída esperada: (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Raízes inteiras 1, 2 e 3.

Coeficiente líder 2

Entrada: 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6
Saída esperada: 2(x + 2)(x − 1/2)(x − 3)

Equivale a (x + 2)(2x − 1)(x − 3).

Fator repetido

Entrada: x^3 - 3x + 2
Saída esperada: (x + 2)(x − 1)²

1 é raiz dupla.

Quadrático irredutível sobre ℚ

Entrada: x^4 - 1
Saída esperada: (x + 1)(x − 1)(x² + 1)

Sobre ℂ, x² + 1 = (x − i)(x + i).

Sem raiz racional, mas fatorável

Entrada: x^4 + 4
Saída esperada: (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)

Raízes 1 ± i e −1 ± i.

Cúbica irredutível

Entrada: x^3 - 2
Saída esperada: (x³ − 2)

Sem raiz racional e de grau 3, logo irredutível sobre ℚ.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir polinômios pelo método da chave?

Divida o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, multiplique o resultado pelo divisor inteiro, subtraia do dividendo e repita com o resto parcial, até o resto ter grau menor que o divisor. Exemplo: (2x³ − 3x + 1) ÷ (x² + x − 2). Primeiro 2x³ ÷ x² = 2x; 2x·(x² + x − 2) = 2x³ + 2x² − 4x; sobra −2x² + x + 1. Depois −2x² ÷ x² = −2; −2·(x² + x − 2) = −2x² − 2x + 4; sobra 3x − 3. Quociente 2x − 2 e resto 3x − 3. Termos que faltam, como o x² do dividendo, entram com coeficiente zero.

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?

O que é o teorema do resto e como ele ajuda?

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3 ou maior?

Como dividir quando o divisor é ax + b com a diferente de 1?

O que são as relações de Girard?

O que a ferramenta faz com raízes complexas?

Posso usar coeficientes fracionários ou decimais?

Como calcular o MDC de dois polinômios?

Quais são os limites e o que fica salvo?

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre fatorar sobre ℚ, ℝ e ℂ?

Sobre ℚ os coeficientes dos fatores são racionais; sobre ℝ, reais, o que permite fatores como x − √2; sobre ℂ, qualquer polinômio vira produto de fatores de grau 1. A ferramenta mostra ℚ e ℂ. Para x² − 2, ℚ devolve o próprio x² − 2, e ℂ dá (x + √2)(x − √2).

Como fatorar um polinômio de grau 4?

Procure raízes racionais primeiro: cada uma tira um fator linear. Se sobrar grau 2, aplique Bhaskara. Se sobrar grau 4 sem raiz racional, como x⁴ + 4, tente o produto de dois quadráticos; a ferramenta faz essa busca por Kronecker.

Por que algumas fatorações trazem uma fração em x − 1/2?

Porque a raiz é fracionária: 1/2 é raiz de 2x − 1, e x − 1/2 é o fator mônico correspondente. Multiplicar esse fator por 2 e dividir o coeficiente líder por 2 dá a forma equivalente só com inteiros.

Próximos passos

O que significa fatorar, e onde parar

Fatorar é escrever P(x) como produto de polinômios de grau menor. Sobre os racionais, os fatores irredutíveis têm coeficientes racionais e não se decompõem mais sem sair de ℚ. Cada raiz racional r dá um fator x − r; um par de raízes complexas conjugadas, ou um par de irracionais conjugados como ±√2, dá um fator do 2º grau que não se divide em ℚ. Em x⁴ − 1, a fatoração é (x + 1)(x − 1)(x² + 1): o último fator só se decompõe sobre ℂ, em (x − i)(x + i).

Alguns polinômios não têm raiz racional e mesmo assim se fatoram. x⁴ + 4 não se anula em nenhum racional, mas é (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2), identidade de Sophie Germain. Não dá para achar isso só testando candidatos racionais; a ferramenta usa o método de Kronecker, que testa fatores de grau 2, 3, ... construídos por interpolação nos valores inteiros do polinômio, e confirma cada achado por divisão exata. Há um orçamento de passos: se ele acabar, a ferramenta avisa que a fatoração pode estar incompleta.

O coeficiente líder aparece na frente: 2x³ − 3x² − 11x + 6 = 2(x + 2)(x − 1/2)(x − 3). Dá para absorver o 2 em um dos fatores e escrever (x + 2)(2x − 1)(x − 3). Fatores repetidos são escritos com expoente, como (x + 2)(x − 1)² para x³ − 3x + 2. Sobre ℂ, o teorema fundamental da álgebra garante que um polinômio de grau n tem exatamente n fatores lineares, contando repetições.

Fatorações conferidas

Três fatores lineares

Entrada: x^3 - 6x^2 + 11x - 6
Saída esperada: (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Raízes inteiras 1, 2 e 3.

Coeficiente líder 2

Entrada: 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6
Saída esperada: 2(x + 2)(x − 1/2)(x − 3)

Equivale a (x + 2)(2x − 1)(x − 3).

Fator repetido

Entrada: x^3 - 3x + 2
Saída esperada: (x + 2)(x − 1)²

1 é raiz dupla.

Quadrático irredutível sobre ℚ

Entrada: x^4 - 1
Saída esperada: (x + 1)(x − 1)(x² + 1)

Sobre ℂ, x² + 1 = (x − i)(x + i).

Sem raiz racional, mas fatorável

Entrada: x^4 + 4
Saída esperada: (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)

Raízes 1 ± i e −1 ± i.

Cúbica irredutível

Entrada: x^3 - 2
Saída esperada: (x³ − 2)

Sem raiz racional e de grau 3, logo irredutível sobre ℚ.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir polinômios pelo método da chave?

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?

O que é o teorema do resto e como ele ajuda?

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3 ou maior?

Como dividir quando o divisor é ax + b com a diferente de 1?

O que são as relações de Girard?

O que a ferramenta faz com raízes complexas?

Posso usar coeficientes fracionários ou decimais?

Como calcular o MDC de dois polinômios?

Quais são os limites e o que fica salvo?

Perguntas frequentes