Calculadora de Polinômios (Divisão e Briot-Ruffini)

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divisão de polinômios passo a passo

Divisão de polinômios passo a passo (método da chave)

Escolha a operação A ÷ B na aba Operações, digite os dois polinômios e a divisão aparece no formato de chave, linha por linha. Termos que faltam entram com coeficiente zero, e o resto é conferido pela identidade A = B·Q + R.

Como a chave funciona, linha por linha

A divisão euclidiana de A por B, com B diferente de zero, produz um quociente Q e um resto R tais que A = B·Q + R, em que R é zero ou tem grau menor que o de B. O método da chave constrói Q um termo por vez. Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau de B, e o resultado é o próximo termo de Q. Multiplica-se esse termo por B inteiro, subtrai-se o produto do resto parcial (por isso a ferramenta escreve o produto com os sinais trocados, sublinhado) e repete-se com o que sobrou.
Um passo só falha de um jeito: esquecer um termo ausente. Em 2x³ − 3x + 1 não há termo em x², e a chave só alinha direito se ele entrar como 0x². A ferramenta faz isso sozinha e mostra o zero apagado na linha. O número de passos é grau(A) − grau(B) + 1 quando o grau de A é pelo menos o de B, e o resto nunca tem grau igual ou maior que o do divisor. Se o grau de A for menor, o quociente é 0 e o resto é o próprio A, como em (x² + 1) ÷ (x³ + 2).
Quando o divisor tem coeficiente líder diferente de 1, aparecem frações no quociente, e a ferramenta as mantém exatas: (6x⁴ − 5x³ + 4x − 1) ÷ (2x − 1) dá quociente 3x³ − x² − (1/2)x + 7/4 e resto 3/4, sem arredondar. Se o divisor tem grau 1, a mesma divisão pode ser feita pelo dispositivo de Briot-Ruffini, e a ferramenta mostra a tabela correspondente logo abaixo da chave, para comparação.

Divisões resolvidas

Resto diferente de zero

Entrada: (2x^3 - 3x + 1) / (x^2 + x - 2)
Saída esperada: Q = 2x − 2; R = 3x − 3

Dois passos: 2x e −2. O termo x² do dividendo entra como 0x².

Divisão exata

Entrada: (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) / (x - 1)
Saída esperada: Q = x² − 5x + 6; R = 0

Resto zero: x − 1 é fator e 1 é raiz do dividendo.

Divisor com coeficiente líder 2

Entrada: (6x^4 - 5x^3 + 4x - 1) / (2x - 1)
Saída esperada: Q = 3x³ − x² − (1/2)x + 7/4; R = 3/4

Frações exatas no quociente, sem decimais.

Divisor de grau 2, divisão exata

Entrada: (x^4 - 1) / (x^2 + 1)
Saída esperada: Q = x² − 1; R = 0

Equivale a x⁴ − 1 = (x² + 1)(x² − 1).

Dividendo de grau menor

Entrada: (x^2 + 1) / (x^3 + 2)
Saída esperada: Q = 0; R = x² + 1

Sem passos: o quociente é zero e o resto é o dividendo.

Resto de grau 1 com divisor de grau 2

Entrada: (4x^3 + 2x^2 - 5) / (2x^2 - 1)
Saída esperada: Q = 2x + 1; R = 2x − 4

O resto 2x − 4 tem grau 1, menor que 2, e a divisão para.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir polinômios pelo método da chave?

Divida o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, multiplique o resultado pelo divisor inteiro, subtraia do dividendo e repita com o resto parcial, até o resto ter grau menor que o divisor. Exemplo: (2x³ − 3x + 1) ÷ (x² + x − 2). Primeiro 2x³ ÷ x² = 2x; 2x·(x² + x − 2) = 2x³ + 2x² − 4x; sobra −2x² + x + 1. Depois −2x² ÷ x² = −2; −2·(x² + x − 2) = −2x² − 2x + 4; sobra 3x − 3. Quociente 2x − 2 e resto 3x − 3. Termos que faltam, como o x² do dividendo, entram com coeficiente zero.

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?

O que é o teorema do resto e como ele ajuda?

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3 ou maior?

Como dividir quando o divisor é ax + b com a diferente de 1?

O que são as relações de Girard?

O que a ferramenta faz com raízes complexas?

Posso usar coeficientes fracionários ou decimais?

Como calcular o MDC de dois polinômios?

Quais são os limites e o que fica salvo?

Perguntas frequentes

Como saber quando parar a divisão de polinômios?

Pare quando o resto for zero ou tiver grau menor que o divisor. Em (4x³ + 2x² − 5) ÷ (2x² − 1), depois do segundo passo sobra 2x − 4, de grau 1, e não dá mais para dividir por um termo em x².

O que fazer com os termos que faltam no dividendo?

Complete com coeficiente zero, na ordem decrescente dos graus. É o que mantém as colunas alinhadas: x³ − 1 vira x³ + 0x² + 0x − 1. A ferramenta faz isso automaticamente e mostra os zeros em cinza.

Como conferir o resultado da divisão?

Multiplique o divisor pelo quociente e some o resto: o resultado precisa ser o dividendo. Em (x³ − 6x² + 11x − 6) ÷ (x − 1), (x − 1)(x² − 5x + 6) + 0 = x³ − 6x² + 11x − 6. A seção Conferência faz exatamente essa conta.

Próximos passos

Como a chave funciona, linha por linha

A divisão euclidiana de A por B, com B diferente de zero, produz um quociente Q e um resto R tais que A = B·Q + R, em que R é zero ou tem grau menor que o de B. O método da chave constrói Q um termo por vez. Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau de B, e o resultado é o próximo termo de Q. Multiplica-se esse termo por B inteiro, subtrai-se o produto do resto parcial (por isso a ferramenta escreve o produto com os sinais trocados, sublinhado) e repete-se com o que sobrou.

Um passo só falha de um jeito: esquecer um termo ausente. Em 2x³ − 3x + 1 não há termo em x², e a chave só alinha direito se ele entrar como 0x². A ferramenta faz isso sozinha e mostra o zero apagado na linha. O número de passos é grau(A) − grau(B) + 1 quando o grau de A é pelo menos o de B, e o resto nunca tem grau igual ou maior que o do divisor. Se o grau de A for menor, o quociente é 0 e o resto é o próprio A, como em (x² + 1) ÷ (x³ + 2).

Quando o divisor tem coeficiente líder diferente de 1, aparecem frações no quociente, e a ferramenta as mantém exatas: (6x⁴ − 5x³ + 4x − 1) ÷ (2x − 1) dá quociente 3x³ − x² − (1/2)x + 7/4 e resto 3/4, sem arredondar. Se o divisor tem grau 1, a mesma divisão pode ser feita pelo dispositivo de Briot-Ruffini, e a ferramenta mostra a tabela correspondente logo abaixo da chave, para comparação.

Divisões resolvidas

Resto diferente de zero

Entrada: (2x^3 - 3x + 1) / (x^2 + x - 2)
Saída esperada: Q = 2x − 2; R = 3x − 3

Dois passos: 2x e −2. O termo x² do dividendo entra como 0x².

Divisão exata

Entrada: (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) / (x - 1)
Saída esperada: Q = x² − 5x + 6; R = 0

Resto zero: x − 1 é fator e 1 é raiz do dividendo.

Divisor com coeficiente líder 2

Entrada: (6x^4 - 5x^3 + 4x - 1) / (2x - 1)
Saída esperada: Q = 3x³ − x² − (1/2)x + 7/4; R = 3/4

Frações exatas no quociente, sem decimais.

Divisor de grau 2, divisão exata

Entrada: (x^4 - 1) / (x^2 + 1)
Saída esperada: Q = x² − 1; R = 0

Equivale a x⁴ − 1 = (x² + 1)(x² − 1).

Dividendo de grau menor

Entrada: (x^2 + 1) / (x^3 + 2)
Saída esperada: Q = 0; R = x² + 1

Sem passos: o quociente é zero e o resto é o dividendo.

Resto de grau 1 com divisor de grau 2

Entrada: (4x^3 + 2x^2 - 5) / (2x^2 - 1)
Saída esperada: Q = 2x + 1; R = 2x − 4

O resto 2x − 4 tem grau 1, menor que 2, e a divisão para.

FAQ da ferramenta completa

Como dividir polinômios pelo método da chave?

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?

O que é o teorema do resto e como ele ajuda?

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3 ou maior?

Como dividir quando o divisor é ax + b com a diferente de 1?

O que são as relações de Girard?

O que a ferramenta faz com raízes complexas?

Posso usar coeficientes fracionários ou decimais?

Como calcular o MDC de dois polinômios?

Quais são os limites e o que fica salvo?

Perguntas frequentes