Calculadora de Polinômios (Divisão e Briot-Ruffini)

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raízes de polinômio de grau 3

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3

Digite o polinômio na aba Raízes e fatoração. A ferramenta lista os candidatos racionais p/q, testa um a um, retira cada raiz achada por Briot-Ruffini e resolve o que sobra pela fórmula de Bhaskara.

Do candidato racional ao par complexo

Para um polinômio de coeficientes inteiros, qualquer raiz racional p/q (fração irredutível) tem p dividindo o termo independente e q dividindo o coeficiente líder. Em 2x³ − 3x² − 11x + 6, p divide 6 e q divide 2, o que deixa 12 candidatos: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2 e ±3/2. Testar cada um é calcular P(c), e a tabela da ferramenta mostra o valor de P em todos eles, com os que zeram em destaque. As raízes são −2, 1/2 e 3.
Achada a primeira raiz, o grau cai. Divide-se P por x − r (Briot-Ruffini) e o quociente passa a ser o novo polinômio, de grau 2 no caso da cúbica, resolvido por Bhaskara. A multiplicidade aparece sem esforço: em x³ − 3x + 2, depois de retirar a raiz 1 o quociente x² + x − 2 ainda se anula em 1, então 1 é raiz dupla e a outra raiz é −2.
Nem toda cúbica tem raiz racional. x³ − 2 não tem, e sua raiz real é a raiz cúbica de 2, cerca de 1,2599, acompanhada de um par de raízes complexas conjugadas (aproximadamente −0,6300 ± 1,0911i). Nesses casos a ferramenta calcula as raízes numericamente. Já x³ − 1 tem a raiz 1 e, pelo quociente x² + x + 1, as raízes complexas −1/2 ± (√3/2)i em forma exata. Toda cúbica de coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real, e as complexas vêm em pares.

Cúbicas resolvidas

Três raízes inteiras

Entrada: x^3 - 6x^2 + 11x - 6
Saída esperada: x = 1, 2, 3

Soma 6 e produto 6, conforme as relações de Girard.

Raízes racionais não inteiras

Entrada: 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6
Saída esperada: x = −2, 1/2, 3

Doze candidatos testados; três deles zeram o polinômio.

Raiz dupla

Entrada: x^3 - 3x + 2
Saída esperada: x = −2; x = 1 (dupla)

Fatora como (x + 2)(x − 1)².

Raízes complexas exatas

Entrada: x^3 - 1
Saída esperada: x = 1; x = −1/2 ± (√3/2)i

O fator x² + x + 1 tem discriminante −3.

Sem raiz racional

Entrada: x^3 - 2
Saída esperada: x = ∛2 (real) e duas raízes complexas conjugadas

A raiz real é cerca de 1,2599; as complexas, −0,6300 ± 1,0911i.

Três raízes fracionárias

Entrada: 6x^3 + x^2 - 5x - 2
Saída esperada: x = −2/3, −1/2, 1

Fatora como (3x + 2)(2x + 1)(x − 1).

FAQ da ferramenta completa

Como dividir polinômios pelo método da chave?

Divida o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, multiplique o resultado pelo divisor inteiro, subtraia do dividendo e repita com o resto parcial, até o resto ter grau menor que o divisor. Exemplo: (2x³ − 3x + 1) ÷ (x² + x − 2). Primeiro 2x³ ÷ x² = 2x; 2x·(x² + x − 2) = 2x³ + 2x² − 4x; sobra −2x² + x + 1. Depois −2x² ÷ x² = −2; −2·(x² + x − 2) = −2x² − 2x + 4; sobra 3x − 3. Quociente 2x − 2 e resto 3x − 3. Termos que faltam, como o x² do dividendo, entram com coeficiente zero.

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?

O que é o teorema do resto e como ele ajuda?

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3 ou maior?

Como dividir quando o divisor é ax + b com a diferente de 1?

O que são as relações de Girard?

O que a ferramenta faz com raízes complexas?

Posso usar coeficientes fracionários ou decimais?

Como calcular o MDC de dois polinômios?

Quais são os limites e o que fica salvo?

Perguntas frequentes

Toda equação de grau 3 tem raiz real?

Sim, quando os coeficientes são reais. O gráfico de uma cúbica vai de −∞ a +∞ (ou o contrário) e cruza o eixo x ao menos uma vez. As outras duas raízes são reais ou formam um par complexo conjugado.

E se o termo independente for zero?

Então x = 0 é raiz e x é fator comum. A ferramenta retira o fator x antes do teste dos candidatos. Em x³ − x, sobra x² − 1, e as raízes são −1, 0 e 1.

O que fazer quando os coeficientes são frações?

Multiplique o polinômio pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores para obter coeficientes inteiros; as raízes não mudam. A ferramenta faz esse passo sozinha. Em x²/2 − 3x/2 + 1, multiplicar por 2 dá x² − 3x + 2, com raízes 1 e 2.

Próximos passos

Do candidato racional ao par complexo

Para um polinômio de coeficientes inteiros, qualquer raiz racional p/q (fração irredutível) tem p dividindo o termo independente e q dividindo o coeficiente líder. Em 2x³ − 3x² − 11x + 6, p divide 6 e q divide 2, o que deixa 12 candidatos: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2 e ±3/2. Testar cada um é calcular P(c), e a tabela da ferramenta mostra o valor de P em todos eles, com os que zeram em destaque. As raízes são −2, 1/2 e 3.

Achada a primeira raiz, o grau cai. Divide-se P por x − r (Briot-Ruffini) e o quociente passa a ser o novo polinômio, de grau 2 no caso da cúbica, resolvido por Bhaskara. A multiplicidade aparece sem esforço: em x³ − 3x + 2, depois de retirar a raiz 1 o quociente x² + x − 2 ainda se anula em 1, então 1 é raiz dupla e a outra raiz é −2.

Nem toda cúbica tem raiz racional. x³ − 2 não tem, e sua raiz real é a raiz cúbica de 2, cerca de 1,2599, acompanhada de um par de raízes complexas conjugadas (aproximadamente −0,6300 ± 1,0911i). Nesses casos a ferramenta calcula as raízes numericamente. Já x³ − 1 tem a raiz 1 e, pelo quociente x² + x + 1, as raízes complexas −1/2 ± (√3/2)i em forma exata. Toda cúbica de coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real, e as complexas vêm em pares.

Cúbicas resolvidas

Três raízes inteiras

Entrada: x^3 - 6x^2 + 11x - 6
Saída esperada: x = 1, 2, 3

Soma 6 e produto 6, conforme as relações de Girard.

Raízes racionais não inteiras

Entrada: 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6
Saída esperada: x = −2, 1/2, 3

Doze candidatos testados; três deles zeram o polinômio.

Raiz dupla

Entrada: x^3 - 3x + 2
Saída esperada: x = −2; x = 1 (dupla)

Fatora como (x + 2)(x − 1)².

Raízes complexas exatas

Entrada: x^3 - 1
Saída esperada: x = 1; x = −1/2 ± (√3/2)i

O fator x² + x + 1 tem discriminante −3.

Sem raiz racional

Entrada: x^3 - 2
Saída esperada: x = ∛2 (real) e duas raízes complexas conjugadas

A raiz real é cerca de 1,2599; as complexas, −0,6300 ± 1,0911i.

Três raízes fracionárias

Entrada: 6x^3 + x^2 - 5x - 2
Saída esperada: x = −2/3, −1/2, 1

Fatora como (3x + 2)(2x + 1)(x − 1).

FAQ da ferramenta completa

Como dividir polinômios pelo método da chave?

Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?

O que é o teorema do resto e como ele ajuda?

Como achar as raízes de um polinômio de grau 3 ou maior?

Como dividir quando o divisor é ax + b com a diferente de 1?

O que são as relações de Girard?

O que a ferramenta faz com raízes complexas?

Posso usar coeficientes fracionários ou decimais?

Como calcular o MDC de dois polinômios?

Quais são os limites e o que fica salvo?

Perguntas frequentes

Toda equação de grau 3 tem raiz real?

E se o termo independente for zero?

Então x = 0 é raiz e x é fator comum. A ferramenta retira o fator x antes do teste dos candidatos. Em x³ − x, sobra x² − 1, e as raízes são −1, 0 e 1.