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assíntotas de função racional gráfico

Gráfico de função racional: assíntotas vertical, horizontal e oblíqua

Digite uma fração de polinômios, por exemplo (2x + 1)/(x - 3). A ferramenta desenha cada ramo da curva sem ligar os dois lados da assíntota, tracejada as retas assintóticas e lista no painel as verticais, a horizontal ou oblíqua, os buracos e as raízes.

Como achar as assíntotas de p(x)/q(x)

Uma função racional é um quociente de dois polinômios, f(x) = p(x)/q(x). O domínio exclui as raízes do denominador, e as raízes da função são as raízes de p(x) que não anulam q(x). Em f(x) = (2x + 1)/(x - 3), o denominador zera em x = 3, então o domínio é todos os reais menos 3. O numerador zera em x = -0,5, que é a raiz, e o intercepto é f(0) = 1/(-3), aproximadamente -0,333.
A assíntota vertical aparece em cada raiz do denominador que não anula o numerador. Em x = 3 o numerador vale 7, então perto de 3 o valor explode: f tende a mais infinito pela direita e a menos infinito pela esquerda. O gráfico tem dois ramos e a ferramenta nunca desenha a linha reta ligando um ao outro. Raízes repetidas do denominador mudam o comportamento: em 1/x² os dois lados sobem para mais infinito, e em 1/x os lados vão para infinitos de sinais opostos.
A assíntota horizontal ou oblíqua depende dos graus. Se o grau do numerador é menor que o do denominador, y = 0: acontece em 1/x e em x/(x² - 4). Se os graus são iguais, y é a razão dos coeficientes de maior grau: em (2x + 1)/(x - 3) é y = 2/1 = 2. Se o numerador tem um grau a mais, há uma assíntota oblíqua, o quociente da divisão: (x² + 1)/x = x + 1/x tem y = x. Se a diferença de graus passa de 1, não existe reta assintótica. Diferente da vertical, a curva pode cruzar a horizontal: x/(x² - 4) passa por y = 0 em x = 0.
Quando o numerador e o denominador têm o mesmo fator, a raiz do denominador não gera assíntota, e sim um buraco. (x² - 1)/(x - 1) é igual a x + 1 para qualquer x diferente de 1, então o gráfico é a reta y = x + 1 com um furo em (1, 2): o limite existe, mas a função não está definida ali. A ferramenta marca o buraco com um círculo vazio e não o lista como assíntota. Como polinômios e frações de polinômios são tratados por álgebra, essas respostas são exatas e valem em todo o eixo real, mesmo fora da janela do gráfico.

Exemplos conferidos

Assíntotas vertical e horizontal

Entrada: (2x + 1)/(x - 3)
Saída esperada: x = 3; y = 2; f(-0.5) = 0

Vertical x = 3; horizontal y = 2; raiz -0,5. Graus iguais: 2/1.

Hipérbole

Entrada: 1/x
Saída esperada: x = 0; y = 0

Vertical x = 0; horizontal y = 0; sem raiz; função ímpar. Grau do numerador menor.

Buraco no gráfico

Entrada: (x^2 - 1)/(x - 1)
Saída esperada: (1, 2); f(-1) = 0

Buraco em (1; 2); raiz -1; sem assíntota vertical. O fator (x - 1) se cancela.

Assíntota oblíqua

Entrada: x + 1/x
Saída esperada: x = 0; y = x; (-1, -2); (1, 2)

Vertical x = 0; oblíqua y = x; máximo local (-1; -2) e mínimo local (1; 2). Numerador de grau 2, denominador de grau 1.

Duas assíntotas verticais

Entrada: x/(x^2 - 4)
Saída esperada: x = -2, x = 2; y = 0; f(0) = 0

Verticais x = -2 e x = 2; horizontal y = 0; raiz 0. x² - 4 = (x - 2)(x + 2).

Polo de ordem par

Entrada: 1/x^2
Saída esperada: x = 0; y = 0

Vertical x = 0; horizontal y = 0; sempre positiva. Os dois ramos sobem.

FAQ da ferramenta completa

Como fazer o gráfico de uma função do 2º grau?

Digite a função, por exemplo x^2 - 4x + 3. A parábola abre para cima se a for positivo e para baixo se for negativo. O vértice fica em x = -b/2a: aqui x = 2 e y = -1. As raízes vêm de (-b ± √Δ)/2a com Δ = b² - 4ac = 4, ou seja, x = 1 e x = 3, e a parábola cruza o eixo y em c = 3. A ferramenta marca todos esses pontos e mostra a forma exata deles.

Como achar as raízes de uma função no gráfico?

Como identificar as assíntotas de uma função?

Qual a diferença entre assíntota e buraco no gráfico?

Como desenhar vários gráficos e achar onde eles se cruzam?

O que são os parâmetros a, b e c?

Quais funções e símbolos posso usar?

O painel mostra os pontos importantes mesmo fora da tela?

Como salvar ou compartilhar o gráfico?

Por que a função não aparece ou dá erro?

Perguntas frequentes

Uma função pode cruzar a assíntota horizontal?

Pode. A assíntota horizontal descreve o comportamento para x muito grande, não impede a curva de cruzá-la antes. A função x/(x² - 4) tem assíntota y = 0 e passa por (0, 0). Já a assíntota vertical nunca é cruzada, porque a função não está definida naquele x.

Como saber se uma raiz do denominador é assíntota ou buraco?

Substitua a raiz no numerador. Se o numerador não zera, é assíntota vertical. Se também zera e o fator se cancela, é um buraco. Em (x² - 1)/(x - 1) o numerador vale 0 em x = 1, e cancelando fica x + 1, com buraco em (1, 2). A ferramenta faz essa verificação pela multiplicidade das raízes.

Como achar a assíntota oblíqua?

Divida o numerador pelo denominador; o quociente linear é a assíntota e o resto some no infinito. Em (x² + 3x + 1)/(x + 1) a divisão dá x + 2 com resto -1, então a assíntota é y = x + 2. Só existe quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador.

Próximos passos

Propriedades

f₁(x) = x^2 - 4x + 3Quadrática (2º grau)

Função quadrática, f(x) = ax² + bx + c com a diferente de 0. O gráfico é uma parábola, simétrica em relação à reta vertical que passa pelo vértice. Aqui a = 1, b = -4 e c = 3; a parábola abre para cima.

Resultado exato (álgebra)

Domínio: ℝ
Imagem: [-1; +∞)
Raízes (zeros): x = 1
x = 3
Intercepto y: (0; 3)
Vértice: (2; -1) ponto de mínimo
Eixo de simetria: x = 2
Discriminante Δ: 4 (duas raízes reais)
Crescimento: Decrescente em (-∞; 2]
Crescente em [2; +∞)
Sinal: f₁(x) > 0 em (-∞; 1) ∪ (3; +∞)
f₁(x) < 0 em (1; 3)
Assíntotas: Nenhuma encontrada
Paridade: Nem par nem ímpar.

f₂(x) = x/2 + 1Afim (1º grau)

Função afim, f(x) = ax + b. O gráfico é uma reta: a é a inclinação (crescente se a for positivo) e b é o ponto em que a reta cruza o eixo y. Aqui a = 0,5 (crescente) e b = 1.

Resultado exato (álgebra)

Domínio: ℝ
Imagem: ℝ
Raízes (zeros): x = -2
Intercepto y: (0; 1)
Crescimento: Crescente em (-∞; +∞)
Sinal: f₂(x) > 0 em (-2; +∞)
f₂(x) < 0 em (-∞; -2)
Assíntotas: Nenhuma encontrada
Paridade: Nem par nem ímpar.

Interseções entre as funções

f₁ ∩ f₂ (0,5; 1,25)
f₁ ∩ f₂ (4; 3)

x	f₁(x)	f₂(x)
-5	48	-1,5
-4	35	-1
-3	24	-0,5
-2	15	0
-1	8	0,5
0	3	1
1	0	1,5
2	-1	2
3	0	2,5
4	3	3
5	8	3,5

f₁(x)

f₂(x)

-5

-1,5

-4

-1

-3

-0,5

-2

-1

0,5

1,5

-1

2,5

3,5

Como achar as assíntotas de p(x)/q(x)

Uma função racional é um quociente de dois polinômios, f(x) = p(x)/q(x). O domínio exclui as raízes do denominador, e as raízes da função são as raízes de p(x) que não anulam q(x). Em f(x) = (2x + 1)/(x - 3), o denominador zera em x = 3, então o domínio é todos os reais menos 3. O numerador zera em x = -0,5, que é a raiz, e o intercepto é f(0) = 1/(-3), aproximadamente -0,333.

A assíntota vertical aparece em cada raiz do denominador que não anula o numerador. Em x = 3 o numerador vale 7, então perto de 3 o valor explode: f tende a mais infinito pela direita e a menos infinito pela esquerda. O gráfico tem dois ramos e a ferramenta nunca desenha a linha reta ligando um ao outro. Raízes repetidas do denominador mudam o comportamento: em 1/x² os dois lados sobem para mais infinito, e em 1/x os lados vão para infinitos de sinais opostos.

A assíntota horizontal ou oblíqua depende dos graus. Se o grau do numerador é menor que o do denominador, y = 0: acontece em 1/x e em x/(x² - 4). Se os graus são iguais, y é a razão dos coeficientes de maior grau: em (2x + 1)/(x - 3) é y = 2/1 = 2. Se o numerador tem um grau a mais, há uma assíntota oblíqua, o quociente da divisão: (x² + 1)/x = x + 1/x tem y = x. Se a diferença de graus passa de 1, não existe reta assintótica. Diferente da vertical, a curva pode cruzar a horizontal: x/(x² - 4) passa por y = 0 em x = 0.

Quando o numerador e o denominador têm o mesmo fator, a raiz do denominador não gera assíntota, e sim um buraco. (x² - 1)/(x - 1) é igual a x + 1 para qualquer x diferente de 1, então o gráfico é a reta y = x + 1 com um furo em (1, 2): o limite existe, mas a função não está definida ali. A ferramenta marca o buraco com um círculo vazio e não o lista como assíntota. Como polinômios e frações de polinômios são tratados por álgebra, essas respostas são exatas e valem em todo o eixo real, mesmo fora da janela do gráfico.

Exemplos conferidos

Assíntotas vertical e horizontal

Entrada: (2x + 1)/(x - 3)
Saída esperada: x = 3; y = 2; f(-0.5) = 0

Vertical x = 3; horizontal y = 2; raiz -0,5. Graus iguais: 2/1.

Hipérbole

Entrada: 1/x
Saída esperada: x = 0; y = 0

Vertical x = 0; horizontal y = 0; sem raiz; função ímpar. Grau do numerador menor.

Buraco no gráfico

Entrada: (x^2 - 1)/(x - 1)
Saída esperada: (1, 2); f(-1) = 0

Buraco em (1; 2); raiz -1; sem assíntota vertical. O fator (x - 1) se cancela.

Assíntota oblíqua

Entrada: x + 1/x
Saída esperada: x = 0; y = x; (-1, -2); (1, 2)

Vertical x = 0; oblíqua y = x; máximo local (-1; -2) e mínimo local (1; 2). Numerador de grau 2, denominador de grau 1.

Duas assíntotas verticais

Entrada: x/(x^2 - 4)
Saída esperada: x = -2, x = 2; y = 0; f(0) = 0

Verticais x = -2 e x = 2; horizontal y = 0; raiz 0. x² - 4 = (x - 2)(x + 2).

Polo de ordem par

Entrada: 1/x^2
Saída esperada: x = 0; y = 0

Vertical x = 0; horizontal y = 0; sempre positiva. Os dois ramos sobem.

FAQ da ferramenta completa

Como fazer o gráfico de uma função do 2º grau?

Como achar as raízes de uma função no gráfico?

Como identificar as assíntotas de uma função?

Qual a diferença entre assíntota e buraco no gráfico?

Como desenhar vários gráficos e achar onde eles se cruzam?

O que são os parâmetros a, b e c?

Quais funções e símbolos posso usar?

O painel mostra os pontos importantes mesmo fora da tela?

Como salvar ou compartilhar o gráfico?

Por que a função não aparece ou dá erro?

Perguntas frequentes