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gráfico da função afim

Gráfico da função afim (1º grau): reta, raiz e coeficiente angular

Escreva a função, por exemplo 2x + 1, e a reta aparece com a raiz e o ponto em que ela corta o eixo y marcados. Para comparar retas, adicione outras funções: o painel diz onde elas se cruzam ou se são paralelas.

Como ler o gráfico de ax + b

A função afim f(x) = ax + b tem como gráfico uma reta. O coeficiente a é a inclinação, também chamada de coeficiente angular: é quanto y varia quando x aumenta 1. Em f(x) = 2x + 1, cada passo de 1 para a direita sobe 2. Se a é positivo a função é crescente, se é negativo é decrescente, e se a = 0 a reta é horizontal e a função é constante. O coeficiente b é o intercepto: f(0) = b, o ponto em que a reta corta o eixo y.
Para desenhar à mão bastam dois pontos. O primeiro é (0, b), quando x = 0. O segundo é a raiz, onde f(x) = 0 e portanto x = -b/a. Para 2x + 1 os pontos são (0, 1) e (-0,5; 0). Para -x + 4 são (0, 4) e (4, 0). Se b = 0, como em y = 3x, a reta passa pela origem e a função se chama linear (ou de proporcionalidade direta). O sinal da função também é simples: com a positivo, f(x) é negativa à esquerda da raiz e positiva à direita.
Dados dois pontos, a equação sai direto. Com (1, 2) e (3, 8) o coeficiente angular é a = (8 - 2)/(3 - 1) = 3; como a reta passa por (1, 2), b = 2 - 3·1 = -1, e a equação é f(x) = 3x - 1, com raiz em x = 1/3. Digite 3x - 1 na ferramenta e confira que o gráfico passa pelos dois pontos. Qualquer reta não vertical pode ser escrita assim; a reta vertical x = k não é gráfico de função, porque um x teria infinitos valores de y.
Duas retas com o mesmo coeficiente angular são paralelas e nunca se cruzam: 2x + 1 e 2x + 4 não têm interseção, e a ferramenta informa isso. Retas perpendiculares têm coeficientes cujo produto é -1: 2x + 1 e -x/2 + 3 (2 vezes -1/2 dá -1) se cruzam em 2x + 1 = -x/2 + 3, ou seja, 2,5x = 2, x = 0,8 e y = 2,6. Qualquer outro par de retas tem exatamente um ponto em comum, e a interseção aparece como círculo no gráfico.

Exemplos conferidos

Reta crescente

Entrada: 2x + 1
Saída esperada: x = -0.5; f(0) = 1; a = 2

Raiz -0,5; y = 1 em x = 0; crescente. a = 2, b = 1.

Reta decrescente

Entrada: -x + 4
Saída esperada: x = 4; f(0) = 4; a = -1

Raiz 4; y = 4 em x = 0; decrescente. a = -1.

Coeficiente decimal

Entrada: 0,5x - 3
Saída esperada: x = 6; f(0) = -3

Raiz 6; y = -3 em x = 0. -b/a = 3/0,5 = 6.

Função linear

Entrada: 3x
Saída esperada: x = 0; f(0) = 0

Raiz 0; passa pela origem. b = 0, proporcionalidade direta.

Função constante

Entrada: 5
Saída esperada: f(x) = 5; a = 0

Sem raiz; reta horizontal y = 5. a = 0, o gráfico não sobe nem desce.

Retas perpendiculares

Entrada: 2x + 1 e -x/2 + 3
Saída esperada: (0.8, 2.6)

Interseção (0,8; 2,6). 2 vezes -1/2 é -1.

FAQ da ferramenta completa

Como fazer o gráfico de uma função do 2º grau?

Digite a função, por exemplo x^2 - 4x + 3. A parábola abre para cima se a for positivo e para baixo se for negativo. O vértice fica em x = -b/2a: aqui x = 2 e y = -1. As raízes vêm de (-b ± √Δ)/2a com Δ = b² - 4ac = 4, ou seja, x = 1 e x = 3, e a parábola cruza o eixo y em c = 3. A ferramenta marca todos esses pontos e mostra a forma exata deles.

Como achar as raízes de uma função no gráfico?

Como identificar as assíntotas de uma função?

Qual a diferença entre assíntota e buraco no gráfico?

Como desenhar vários gráficos e achar onde eles se cruzam?

O que são os parâmetros a, b e c?

Quais funções e símbolos posso usar?

O painel mostra os pontos importantes mesmo fora da tela?

Como salvar ou compartilhar o gráfico?

Por que a função não aparece ou dá erro?

Perguntas frequentes

Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Calcule a = (y2 - y1)/(x2 - x1) e depois b = y1 - a·x1. Para (1, 2) e (3, 8): a = 6/2 = 3 e b = 2 - 3 = -1, logo y = 3x - 1. Digite a equação na ferramenta e confirme se a reta passa pelos pontos.

O que é o coeficiente angular e o que ele muda no gráfico?

É o número a em y = ax + b e mede a inclinação da reta. Com a = 1 a reta faz 45 graus com o eixo x; com a = 3 sobe três vezes mais depressa; com a = -1 desce na mesma proporção. Use os controles deslizantes digitando a*x + b para ver a reta girar em torno do ponto (0, b).

Quando duas retas não se cruzam?

Quando têm o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares diferentes, ou seja, são paralelas distintas: 2x + 1 e 2x + 4, por exemplo. Se também tiverem o mesmo b, são a mesma reta e todos os pontos coincidem, caso que a ferramenta também identifica.

Próximos passos

Propriedades

f₁(x) = x^2 - 4x + 3Quadrática (2º grau)

Função quadrática, f(x) = ax² + bx + c com a diferente de 0. O gráfico é uma parábola, simétrica em relação à reta vertical que passa pelo vértice. Aqui a = 1, b = -4 e c = 3; a parábola abre para cima.

Resultado exato (álgebra)

Domínio: ℝ
Imagem: [-1; +∞)
Raízes (zeros): x = 1
x = 3
Intercepto y: (0; 3)
Vértice: (2; -1) ponto de mínimo
Eixo de simetria: x = 2
Discriminante Δ: 4 (duas raízes reais)
Crescimento: Decrescente em (-∞; 2]
Crescente em [2; +∞)
Sinal: f₁(x) > 0 em (-∞; 1) ∪ (3; +∞)
f₁(x) < 0 em (1; 3)
Assíntotas: Nenhuma encontrada
Paridade: Nem par nem ímpar.

f₂(x) = x/2 + 1Afim (1º grau)

Função afim, f(x) = ax + b. O gráfico é uma reta: a é a inclinação (crescente se a for positivo) e b é o ponto em que a reta cruza o eixo y. Aqui a = 0,5 (crescente) e b = 1.

Resultado exato (álgebra)

Domínio: ℝ
Imagem: ℝ
Raízes (zeros): x = -2
Intercepto y: (0; 1)
Crescimento: Crescente em (-∞; +∞)
Sinal: f₂(x) > 0 em (-2; +∞)
f₂(x) < 0 em (-∞; -2)
Assíntotas: Nenhuma encontrada
Paridade: Nem par nem ímpar.

Interseções entre as funções

f₁ ∩ f₂ (0,5; 1,25)
f₁ ∩ f₂ (4; 3)

x	f₁(x)	f₂(x)
-5	48	-1,5
-4	35	-1
-3	24	-0,5
-2	15	0
-1	8	0,5
0	3	1
1	0	1,5
2	-1	2
3	0	2,5
4	3	3
5	8	3,5

f₁(x)

f₂(x)

-5

-1,5

-4

-1

-3

-0,5

-2

-1

0,5

1,5

-1

2,5

3,5

Como ler o gráfico de ax + b

A função afim f(x) = ax + b tem como gráfico uma reta. O coeficiente a é a inclinação, também chamada de coeficiente angular: é quanto y varia quando x aumenta 1. Em f(x) = 2x + 1, cada passo de 1 para a direita sobe 2. Se a é positivo a função é crescente, se é negativo é decrescente, e se a = 0 a reta é horizontal e a função é constante. O coeficiente b é o intercepto: f(0) = b, o ponto em que a reta corta o eixo y.

Para desenhar à mão bastam dois pontos. O primeiro é (0, b), quando x = 0. O segundo é a raiz, onde f(x) = 0 e portanto x = -b/a. Para 2x + 1 os pontos são (0, 1) e (-0,5; 0). Para -x + 4 são (0, 4) e (4, 0). Se b = 0, como em y = 3x, a reta passa pela origem e a função se chama linear (ou de proporcionalidade direta). O sinal da função também é simples: com a positivo, f(x) é negativa à esquerda da raiz e positiva à direita.

Dados dois pontos, a equação sai direto. Com (1, 2) e (3, 8) o coeficiente angular é a = (8 - 2)/(3 - 1) = 3; como a reta passa por (1, 2), b = 2 - 3·1 = -1, e a equação é f(x) = 3x - 1, com raiz em x = 1/3. Digite 3x - 1 na ferramenta e confira que o gráfico passa pelos dois pontos. Qualquer reta não vertical pode ser escrita assim; a reta vertical x = k não é gráfico de função, porque um x teria infinitos valores de y.

Duas retas com o mesmo coeficiente angular são paralelas e nunca se cruzam: 2x + 1 e 2x + 4 não têm interseção, e a ferramenta informa isso. Retas perpendiculares têm coeficientes cujo produto é -1: 2x + 1 e -x/2 + 3 (2 vezes -1/2 dá -1) se cruzam em 2x + 1 = -x/2 + 3, ou seja, 2,5x = 2, x = 0,8 e y = 2,6. Qualquer outro par de retas tem exatamente um ponto em comum, e a interseção aparece como círculo no gráfico.

Exemplos conferidos

Reta crescente

Entrada: 2x + 1
Saída esperada: x = -0.5; f(0) = 1; a = 2

Raiz -0,5; y = 1 em x = 0; crescente. a = 2, b = 1.

Reta decrescente

Entrada: -x + 4
Saída esperada: x = 4; f(0) = 4; a = -1

Raiz 4; y = 4 em x = 0; decrescente. a = -1.

Coeficiente decimal

Entrada: 0,5x - 3
Saída esperada: x = 6; f(0) = -3

Raiz 6; y = -3 em x = 0. -b/a = 3/0,5 = 6.

Função linear

Entrada: 3x
Saída esperada: x = 0; f(0) = 0

Raiz 0; passa pela origem. b = 0, proporcionalidade direta.

Função constante

Entrada: 5
Saída esperada: f(x) = 5; a = 0

Sem raiz; reta horizontal y = 5. a = 0, o gráfico não sobe nem desce.

Retas perpendiculares

Entrada: 2x + 1 e -x/2 + 3
Saída esperada: (0.8, 2.6)

Interseção (0,8; 2,6). 2 vezes -1/2 é -1.

FAQ da ferramenta completa

Como fazer o gráfico de uma função do 2º grau?

Como achar as raízes de uma função no gráfico?

Como identificar as assíntotas de uma função?

Qual a diferença entre assíntota e buraco no gráfico?

Como desenhar vários gráficos e achar onde eles se cruzam?

O que são os parâmetros a, b e c?

Quais funções e símbolos posso usar?

O painel mostra os pontos importantes mesmo fora da tela?

Como salvar ou compartilhar o gráfico?

Por que a função não aparece ou dá erro?

Perguntas frequentes

Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?

Calcule a = (y2 - y1)/(x2 - x1) e depois b = y1 - a·x1. Para (1, 2) e (3, 8): a = 6/2 = 3 e b = 2 - 3 = -1, logo y = 3x - 1. Digite a equação na ferramenta e confirme se a reta passa pelos pontos.